Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
4*)-ds2 = 2 rf(qi+i -qi+2) 2
/ = 1 r = 1
r - 1 I Qr+1 - dr+2 I
(2.3.67)
= E
(2.3.69)
*) Входящие в эту формулу индексы следует рассматривать по модулю три.
101
Таблица 2
Значения параметров, для которых система (23.68) интегрируема
N а Ь с d Примечание
1 2 1 0 0 произ- волен Третья координата отщепляется
2 2 1 2 2 1 Сферическая симметрия
3 2 1 6 6 8 Случай VI в работе [168]
4 2 1 12 12 16 Случай II в работе [168]
5 2 I 6 6 1 Новый случай
6 6 1 12 12 16 Новый случай
7 0 1 6 6 8 Новый случай
8 6 8 6 6 8 Случай VII в работе [168]
Примечание. Другие интегрируемые случаи получаются
путем перестановки коор-
динат q 1 , , <7з ; случаи 6 и 7 связаны с помощью поворота на
угол гг/4 в плоскости
и разделим координаты q/ (/ - 1, . . . , и) на две группы по следующему
принципу:
1) величину qj отнесем к первой группе, если функция ЪТ(д, p)/dqj,
рассматриваемая как полином от рк, делится на ЪТ(д, р)1др}- (это
эквивалентно делимости dT(q,q)ldqj на<J/);
2) в противном случае координату qк отнесем ко второй группе.
Пусть qi, . . . , qr - координаты первой группы, qr + 1, .. ., qn -
координаты второй группы. Тогда, как показано в работе Бургатти [129],
уравнения для функции Wj (qj) имеют следующий вид:
bWi
-----= 6n(<7i)"i + •• ¦ +blr(q i)ar,
dq i
T =bn(qr) <*1 + • . . + brr(qr)ar, bqr
dWr+i
--------- =br+iA(qr +i)ai + . .. + br +i,r(qr+i)ar +
°Qr+1
+ Фг +i (.Qr + i)V2?'- er +i + br+i _ r+1 (<7r+i) ar+i + ¦ • •,
=bnl(qn)al + .. . + bnr(qn)ar +
bqn
1Pn(.Qn) V2E - en + bn> r + + .. . + bn n_ j0(n_ j + 2bnn(qn),
(2.3.70)
где er+i, ... ,e" - однородные квадратичные формы относительно величин
<*!,. .. , аг; коэффициенты формы ек зависят лишь от координаты qk.
102
Найдем из первых г уравнений выражения для a j ...аг через dWjldq/ и
подставим эти выражения в оставшиеся уравнения.
Исключая из них (и - г - 1) константу, за исключением одной константы Е,
получаем уравнение Гамильтона-Якоби, интегрируемое методом разделения
переменных.
Нетрудно видеть, что такое уравнение допускает г линейных (по импульсам)
интегралов движения и (и - г) квадратичных интегралов; причем все они
находятся в инволюции.
Индекс г при этом может принимать значения 0, 1, . . . , и;
соответственно мы получаем (и + 1) тип уравнений Гамильтона-Якоби,
допускающих разделение переменных.
Таким образом,показано,что выполнение уравнений (2.3.70) является
достаточным условием для решения уравнения Гамильтона-Якоби методом
разделения переменных.
Тот факт, что эти уравнения являются также необходимыми условиями для
разделения переменных, был установлен в работе Даль-Аквы [157].
Вопрос о том, какие из рассмотренных метрик являются плоскими, т.е. в
каких случаях тензор кривизны тождественно равен нулю, был разобран в
работе [304].
2.4. Системы, обладающие квадратичными
интегралами движения
Как видно из раздела 2.3, для систем Лиувилля и Штеккеля возможность
решения задачи методом разделения переменных связана с существованием п
интегралов движения, квадратичных по импульсам и находящихся в инволюции.
Существуют, однако, системы, обладающие меньшим числом квадратичных
интегралов движения.
А. Системы с двумя степенями свободы. Пусть система описывается
гамильтонианом
Н=~ (a1(q1,q2)p] a2{ql,q2)p\) + U{ql,q2) (2.4.1)
и обладает квадратичным интегралом движения вида
/=- (M?i,?2)Pi +b2(ql,q2)p2)+ V{quq2). (2.4.2)
2
Условие, что I является интегралом движения,
{#,/}= 0, (2-4-3)
эквивалентно уравнениям:
1 Ъа,- 1 bbf
ai dqf bf dqj
db2 Ъа2
а\ = b i -,
dq i bqi
dV dV
af = bf ,
J dqj dqj
, /=1,2, (2.4.4)
ЪЬ\ Ъах
а2 = Ъ2 , (2.4.5)
dq2 dq2
/=1,2, (2.4.6)
103
Решая эти уравнения, получаем или тривиальное решение
bj = otaj, V=aU + (3, (2.4.7)
где а и (3 - постоянные, или же решение
dj(qj) Ui + U2
,/=1,2, U(qi,q2)= ----------------. (2.4.8)
ci(qi) + c2(q2) ci+c2
В последнем случае гамильтониан Н имеет вид Лиувилля и, следовательно,
уравнения движения интегрируются методом разделения переменных.
Интеграл движения имеет вид
2= [c2(?2) + ci(^i)]'1 |-(c2diP2i -Cid2p\) + c2Ui-CiU2 j. (2.4.9)
Функции Cf, dj и Uj зависят лишь от переменной qj и произвольны. Переходя
к рассмотрению системы с большим числом степеней свободы, отметим, что в
работе ди Пирро [268] были указаны примеры систем с и степенями свободы,
которые обладают любым числом г квадратичных интегралов движения (1<г<л -
1).
Б. Системы с тремя степенями свободы. Здесь мы рассмотрим лишь случай и =
3. В работе [268] была доказана следующая Теорема 2.4.1. Система с
гамильтонианом
1 з
н=- 2 aj(ql,q2,q3)pj + U(q1>q2,q3) (2.4.10)
2 /= 1
допускает дополнительные квадратичные интегралы движения в двух случаях.
1. Существуют два дополнительных квадратичных ортогональных интеграла *).
В этом случае система является системой Штеккеля
Я = Z AjX pj + Ujipj)^, (2.4.11)
где Ajк - матрица обратная к матрицеBjk иBjk ~Bjk(qj) ¦
2. Существует лишь один квадратичный ортогональный интеграл. В этом
