Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
дъТ
дЯ
-¦ 4а "
°йз
дй 2 т
~ 7Г
дг 2т
а*? 72"
дЯ 2т
7*"
(90.5)
8<XP^ = 7^C0SM-
9ap^B = ^-cos(rti/)> (30-6)
n"P-
Этот перечень формул дает нам на больших расстояниях от материальной
системы предельные значения тех величин, которые будут нам необходимы, в
следующем параграфе.
§ 91. Масса, энергия и импульс изолированной системы
С помощью найденных выше величин мы можем теперь получить выражения для
энергии и компонент импульса изолированной системы. Исходя из (88.4) и
(89.3), выразим энергию системы в виде
17 = /" = JJJ(sE4 + tl)d*d0dz =
= в" Зб + Т (И.П
что справедливо, если интегрирование производится по достаточно большому
объему, окружающему рассматриваемую систему. Пусть этот объем имеет вид
сферы радиуса г вокруг начала координат. Уславливаясь суммировать по
дважды встречающемуся индексу f и используя теорему Гаусса, преобразуем
первые три члена суммы в поверхностные интегралы. Подставляя
240
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
в правую часть (91.1) предельные величины (90.5) и (90.6),
соответствующие достаточно большим г, получаем
U = ^ (cos2 (пх) + cos2 (пУ) + cos2 (tiz)}da -f
+ 5ГТ jjj (- a" + Ь°->Щ.1ЫуЛг. ,91.2)
Сразу видно, что первый член в этом выражении равен т. Второй член в этом
выражении не может быть вычислен в явном виде, поскольку в нем
производится интегрирование по всему объему сферы, включая область,
окружающую начало координат, где вид интервала неизвестен. Тем не менее,
так как U - постоянная, в соответствии с законами сохранения энергии для
изолированной системы (88.5) и поскольку т - постоянная, по определению
характеризующая статическое поле на больших расстояниях, очевидно, что
второй член правой части (91.2) также должен быть постоянным, а
следовательно, должен быть равен просто нулю, так как интеграл не может
неограниченно изменяться с постоянной конечной скоростью. Таким образом,
энергия изолированной системы выражается формулой Эйнштейна:
U=m. (91.3)
Импульс системы в используемых координатах может быть определен подобным
же образом. В соответствии с определениями (88.4) и (89.3) компоненты
импульса в направлении оси х можно записать в виде
А = + u)dxdydz = ^r 9 a4^f]dXdydz-
Поступим с этим выражением так же, как и с (91.1), т. е. отбросим нулевые
члены, пользуясь (90.4), и в результате получим
А "5ГТ ПТ (-8"'-^W"<fc = 0. (91.4)
В итоге компоненты импульса /1, /2 и /3 и энергия /4={/ изолированной
материальной системы, находящейся все время в начале квазигалилеевой
системы координат, задаются набором
/ц=(0, 0, 0, т). (91.5)
Три компоненты импульса оказываются равными нулю, конечно, из-за
специального выбора системы координат, при котором
§ 92. ЭНЕРГИЯ КВАЗИСТАТИЧЕСКОП СИСТЕМЫ
241
наша система покоится в начале координат. Величина т, полученная для
энергии системы, также вполне понятна, она указывает, что полная энергия
изолированного объекта - это величина, входящая в шварцшильдовское
приближение, которое определяет гравитационное поле на больших
расстояниях от объекта.
Воспользуемся теперь тем обстоятельством, отмеченным уже в конце § 88,
что компоненты /ц преобразуются подобно компонентам ковариантного вектора
при линейных преобразованиях, соответствующих заменам одной системы
галилеевых координат другой в окружающем "плоском" пространстве -
времени. Тогда согласно (91.5) можно записать для > более общее контр-
авариантное выражение:
= (91-6)
as
в котором можно считать, что dx^/ds соответствует приближенно скорости
системы как целого относительно используемой системы координат.
§ 92. Вычисление энергии квазистатической изолированной системы при
помощи интеграла только по занимаемому ею пространству
Для некоторых целей оба найденных выше выражения для энергии
изолированной системы
U = fJJ (sj+ ti) dxdydz и U=m (92.1)
могут оказаться неудобными. Недостаток первого выражения
состоит в том, что интегрирование в нем должно производиться
по объему значительно большему, чем действительные размеры системы, так
как t*, вообще говоря, не равна нулю в пустом пространстве. Второе же
выражение обладает тем недостатком, что оно не дает никаких рецептов для
вычисления энергии по действительным распределениям материи и излучения
внутри системы. Для частного класса систем (назовем их квазиста-
тическими) можно получить другие выражения, в некоторых отношениях более
удобные.
Подставляя в первое из двух выражений (92.1) плотность потенциальной
энергии (87.12), получаем
Космологический член здесь опущен, так как мы будем применять эту формулу
лишь к малым системам, относительно которых
1^ Р. Толмен
242
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
допустимо утверждение, что они окружены "плоским" пространством-
временем. Подставляя сюда выражение для й (87.9), имеем
Кроме того, взяв выражение для SR в соответствии с (78.11):
разложив третий член подынтегральной функции и объединив его с четвертым,
перепишем выражение для U следующим образом:
Далее, введем теперь условия, что координаты (х, у, z, t) -
