Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирования х1, хп и т. д., которая должна охватывать интересующую нас
область, проходила как раз по разделу системы и окружающей среды. Так,
например, квази-декартовы координаты х, у, z с пределами интегрирования
от х до х', от у до у', от 2 до г', соответствующими действительной
границе системы, предпочтительнее для наших теперешних целей, чем,
скажем, полярные координаты г, 0 и ф с пределами интегрирования от 0 до
л, от 0 до я и от 0 до 2я, из которых лишь г на самом деле определяет
границу. Упрощение при надлежащем выборе координат происходит потому, что
правая часть (88.2) в этом случае определяется лишь величинами и т.
д.,
заданными на границе системы, и не зависит от их значений внутри системы.
Выберем координаты указанным образом. Тогда из уравнения
(88.2) следует, что левая часть, т. е. скорость изменения
пространственного интеграла со "временем" х4, равна сумме поверхностных
интегралов в правой части, величина которой полностью определяется
условиями, заданными на границе раздела системы и окружающей ее среды.
Таким образом, уравнение (88.2) записано в такой форме, что его можно
рассматривать как выражение закона сохранения, если правую часть (88.2)
считать определением потока, пересекающего границу. Далее, если взять
предельный случай "плоского" пространства - времени, когда применима
специальная теория относительности, уравнение (88.2) может быть
переписано в галилеевых координатах следующим образом:
^ Ш тУхЧхЧх* = -JJ \тЦУ dx4 хя -
- f J \Т№ dx'dx* -1117*|?" dx4x\ (88.3)
так как tl = 0 согласно (87.15), A=0 для "плоского" пространства, a
Sjiдолжно быть равноТ^, поскольку"^-?=0 з выбранных координатах.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением
(38.10), мы увидим, что при ц=1, 2, 3 уравнение (88.3) полностью
эквивалентно релятивистскому выражению - следствию закона сохранения трех
компонент количества движения, а при [i=4 уравнение (88.3) совпадает с
законом сохранения энергии *).
*) То, что индекс р в (88.3) стоит внизу, а в (38.10) вверху, не суще-
ственно, поскольку из соотношения (Т^)^ = 0 следует и [ga(ITav)v
=(rjj[jv=0 ввиду равенства (ga|A)v =-0 (см. уравнение (35) из Приложения
III).
§ 88. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
235
Итак, можно считать, что уравнение (88.2) в общей теории относительности
является аналогом обычного закона сохранения энергии - импульса, если
принять величину
•fn = Ш + *1) ЛхЧхЧх* (88.4)
при ц=1, 2, 3 за определение импульса данной области и при ji=4 за
определение ее энергии. Согласно этому определению можно теперь
рассматривать величины 35,1 в качестве плотностей энергии и импульса
вещества, a как плотность по-
тенциальной гравитационной энергии и импульса. Введение потенциальной
энергии и импульса, необходимое для аналогии с обычными законами
сохранения энергии и импульса, приводит к тому, что полная собственная
энергия изолированной системы может не быть постоянной, как было замечено
в конце § 86.
Итак, с помощью (88.4) мы ввели величины /ц, которые можно рассматривать
как энергию и импульсы конечной системы, не составляющие, однако,
настоящего ковариантного вектора. Тем не менее эти величины определены во
всех системах координат формулой (88.4) и уравнения, в которых фигурируют
/ц, являются ковариантными, т. е. справедливыми во всех системах
координат.
Физический смысл величин /ц наиболее легко понять, применив их для
описания изолированной системы. Рассмотрим изолированную систему с
границей, находящейся в окружающем пустом пространстве на достаточном
удалении, так что можно пренебречь кривизной пространства - времени для
точек на границе и вне ее. Область пространства внутри этой поверхности
можно тогда рассматривать как трубу в окружающем "плоском" пространстве -
времени, и мы можем выбрать координаты так, чтобы они непрерывным образом
переходили в какие-то галилеевы координаты специальной теории
относительности, заданные вне трубы.
Легко видеть, что при таком выборе координат общий закон сохранения
энергии - импульса (88.2) для такой изолированной системы переписывается
в простой форме:
dJ "
-^ = 0, (88.5)
поскольку правая часть (88.2) равна нулю. Последнее же следует из формулы
(87.16) и нашего предположения, что кривизной пространства - времени на
поверхности цилиндра можно пренебречь.
Далее, можно показать, что величины /ц не зависят от преобразований
системы координат внутри цилиндра, при том условии, однако, что
преобразованные системы координат совпадают с галилеевой системой,
заданной вне цилиндра. В подтвержде-
236
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
иие .просто заметим, что всегда можно ввести дополнительную третью
систему координат, которая вне цилиндра совпадала оы с обычной галилеевой
системой, а внутри цилиндра в один момент "времени" xi (определенного вне
цилиндра) совпадала бы с первоначальной системой, а в некоторый более
поздний момент "времени" xi совпадала бы с преобразованной системой.
Тогда, поскольку величины /ц согласно (88.5) не должны зависеть от х4 во
