Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
больше чем на 10~12. (Прим. ред.)
188
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
размеры окрестности должны быть настолько малыми, чтобы пространственными
и временными изменениями гравитации в ней можно было пренебречь. В
отсутствие же гравитации можно считать, что выполняются законы
специальной теории относительности. Следовательно, принцип
эквивалентности можно также понимать как утверждение, что в малой
окрестности какой-либо выбранной точки всегда возможен переход к
координатам, в которых выражения физических законов, даваемые общей
теорией относительности, сводятся к соответствующим выражениям
специальной теории относительности, записанным в обычных пространственных
и временной переменных х, у, z, и t, иначе говоря, в так называемых
галилеевых координатах, введенных в § 20:
х' = х, х2=у, x3=z, x4 = ct.
Такие координаты в данном случае могут быть названы естественными
координатами для заданной точки. В этих координа* тах, в соответствии с
формулами для интервала в специальной теории относительности, компоненты
метрического тензора в выбранной точке определяются просто числами -1, +1
и 0, и первые производные от g^y по этим координатам равны в этой точке
нулю. Однако вторые производные могут, вообще говоря, и отличаться от
нуля, исключая простой случай плоского пространства - времени. Ниже мы
убедимся, что предположение приближенной справедливости специальной
теории относительности в малой окрестности какой-либо фиксированной точки
пространства - времени эквивалентно приближенной замене искривленной
поверхности касательной плоскостью в данной точке при геометрическом
рассмотрении.
В каждой данной пространственно-временной точке можно ввести бесконечное
множество различных систем естественных координат, которое может быть
получено различными поворотами пространственных осей, а также лоренцевыми
преобразованиями, отвечающими различным скоростям начала координат. Среди
этих различных систем нас особенно часто будет интересовать такая, в
которой наблюдатель с его измерительными приборами или какие-то отдельные
предметы, например определенная частица вещества, покоятся, по крайней
мере в данный момент, относительно пространственных осей. Такие системы
могут быть названы собственными системами координат для наблюдателя или
рассматриваемого предмета. Переход к ним, естественно, возможен всегда
(см. § 18).
Таким образом, предоставленная принципом эквивалентности возможность
использования естественных координат дает нам мощный способ
формулирования общих законов физики. Действительно, мы можем теперь
потребовать, чтобы физические
§ 74. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
189
законы, будучи выраженными в естественных координатах, всегда принимали
бы в заданной точке вид, заранее известный из специальной теории
относительности. Это дает способ проверки пригодности различных
ковариантных выражений в качестве общих физических законов, позволяющий
отбрасывать те, что не согласуются с принципом эквивалентности. Этот
способ, конечно, не обязательно приведет нас к однозначным результатам,
поскольку возможно существование нескольких обобщений законов специальной
теории относительности, обладающих требуемыми свойствами. Тем не менее во
многих случаях самое простое из возможных обобщений приводит нас к
разумному результату.
д) Интервал и траектория в присутствии гравитационных полей. При
обсуждении принципа ковариантности (см. § 73, г и § 73, д) уже
отмечалось, что ковариантные выражения специальной теории относительности
для интервала и для траекторий свободных частиц и световых лучей
применимы и в "кривом" пространстве - времени, связанном с постоянными
гравитационными полями. Мы должны теперь показать, что это действительно
согласуется с требованиями принципа эквивалентности.
Для того чтобы проверить это для случая интервала
ds2=g>lvdx>ldx\ (74.10)
мы прежде всего должны доказать, что всегда существует преобразование,
которое обращает в нуль первые производные от компонент метрического
тензора в любой выбранной точке. Это есть не что иное, как известная из
дифференциальной геометрии теорема о возможности введения "геодезических"
координат. Чтобы выполнить это, перенесем начало координат в интересующую
нас точку, а затем перейдем от нештрихованных координат к штрихованным
при помощи подстановки
*e = (rap)0g? *'v, (74.11)
где (Гар)о - символы Кристоффеля первого рода, заданные в начале
координат. Теперь легко убедиться, что в начальной точке новой системы
координат выполняется соотношение *)
§4 = 0. (74.12,
Обеспечив требуемое постоянство метрического тензора в начале координат,
дальнейшее преобразование к координатам, в которых компоненты в данной
точке - это либо ±1, с2, 0, либо +1, 0, можно произвести аналогичным
способом. Следова-
*) См., например, монографию Эддингтона [56], гл. III, § 36.
190
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
тельно, выборковариантного выражения (74.10) в качестве выражения для
