Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
*) Cm. [96] и особенно [97], где проблема была решена в самой общей форме, а также [98].
g 19, ТЕОРЕМЫ ГАУССА И СТОКСА
&1
ли даны в работах Вейля [99], Гессенберга [72] и Ланга [69].
Для части операций, которые мы прежде всего рассмотрим и которые распространяются на тензоры первого ранга (в смысле § И), коэффициенты связности не входят в конечный результат. Поэтому естественно требовать, чтобы при определении их не применялись понятия параллельного переноса. Прежде всего мы можем из скаляра <р дифференцированием образовать вектор grad <р, что непосредственно следует из инвариантности
d(f = —. dx1.
дхг
При этом нужно заметить,- что величины ду/дх* представляют собой ковариантные компоненты:
gradjCp = дср/дх*. (131)
Чтобы найги дальнейшие соотношения, надо применить в нашем случае интегральные теоремы Гаусса и Стокса, причем мы ограничимся четырехмерным пространством. Обобщение гауссовой и стоксовой теорем для пространств любого числа измерений имеется у Пуанкаре [100] и Гаусса [101]. Для случая специальной теория относительности (евклидова геометрия и ортогональные координаты) формулы были получены Зоммерфельдом *). Пусть
f, Fik, Am (132)
— компоненты вектора, бивектора и тривектора, а
ds\ daih, dSm, dS (133)
— элементы длины, поверхности, пространства и четырехмерного мира, абсолютные величины которых равны
ds, da, dS, IdEI. (133а)
Компоненты (133) выражаются через координаты следующим образом: ds‘ просто равна дифференциалам координат
ds* = dx'- (134а)
далее, если dx1, Sxi и соответственно dx‘, бх\ Ax1 — компоненты независимых линейных элементов, принадле-
*) A. Sommerfeld [65]. Дивергенция бивектора выводится у него другим способом.
6 В, Паули
82
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
жащих поверхностному иди пространственному элементу, то
doik —
dx
dxh
Ьхг
bxk
dSm =
dx 6z Ax dxk Sxft Ax^ dx1 &xl Ax1
(134b)
(134c)
Введение этих выражений в какой-либо поверхностный (пространственный) интеграл JФ {х) doih (| ф (х) dSM} соответствует способу написания многократных интегралов, введенному Клейном [102] и названному им грассманов-ским. Он является наиболее естественным способом написания, так как непосредственно указывает на поведение интеграла при преобразовании координат; поэтому Клейн [102] и предпочитает его обычному способу написания. Однако последний имеет преимущество большей простоты, хотя он и не указывает сразу на поведение подынтегрального выражения при преобразованиях координат. Мы получим это написание, если возьмем независимые направления d, б (d, б, А)- для компонент элемента поверхности (объема) параллельными соответствующим координатным осям. Тогда
da<k = dxбя"; dSM >=
или, записывая еще проще,
da!h = dxldx*\ dSM •“ dx!dxkdxI,
(135)
Ho надо, конечно, помнить, что эти выражения при преобразовании координат ведут себя как компоненты би- (три-) вектора.
Мы можем образовать инварианты из тензоров (132) и (133) двумя способами.
1. Помножив ортогональную проекцию f, F, А на ds, do, dS на величину соответствующего тензора (длину, площадь, объем):
f,ds = /idr';
Fodcs = Fikdaik; AsdS = AiUdSikt.
(136а)
(136Ь)
(136с)
§ 19. ТЕОРЕМЫ ГАУССА И СТОКСА 83
2. Помножив ортогоаальную проекцию вектора f на направление, перпендикулярное к dS, на объем dS; помножив ортогональную проекцию бивектора F на двумерное направление, перпендикулярное к da, на площадь da и, наконец, помножив оргогональвую проекцию тривектора А на трехмерное направление, перпендикулярное к ds, на длину ds. Эги выражения можно найти с помощью дуальных дополнений к ds, da, dS [см. § 12, (54Ь), (55]:
UdS = fdS* = 2 VgfdShlm= 2 VdSklm; (137а)
(ihlm) (ihlm)
Fbda = Fikdo*k = 2 VgFihdalm= 2 SiWm;
(ihlm) (ihlm)
(137b)
Ands = AiklOsikl= 2 VgA,klds™= 2 %ihldsm,
(ihlm) (iklm)
(137c)
Суммирование распространено на четные перестановки, a f, 8, SI суть тензорные плотности, соответствующие f, F, А (см. § 11).
Обобщения интегральных законов Гаусса и Стокса можно теперь сформулировать следующим образом. Если мы проинтегрируем (136а) по замкнутой кривой, (136Ь), (137Ь) — по замкнутой поверхности, а (137а)— по замкнутой гиперповерхности, то эти интегралы могут быть преобразованы в интегралы по поверхностным, пространственным и мировым областям, ограниченным ими:
j fsds — j* rot,vf do = ^ roti/jf doih; (138a)
J FadS = J TOtnFdS = J TOtiftiFdSiw; (138b)
J fndS = j* div f d 2 = j Mm f dx; (139a)
f FAda = f divnF dS = f 2 Mm1FdSftlra •> (ihlm) (139b)
(аналогичные теоремы для (136с) и (137с) мы оставляем в стороне, так как они до сих пор не имели в физике 6*
84
ГЛ. TI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АЛПАРАТ
никакого применения). При этом положено
rot“'-S-S: (Ш,а)
rot,, F = +? (I iOb)
Ox дх dj.
M«I = ?(di = (141.)
btm{F = fdivT = -L ”l/y). (141Ь)
(?*А ^ дхк J К ’
Важно, что инвариантность начальных интегралов влечет за собой инвариантность конечных. Это может быть, однако, только в том случае, если подынтегральное выражение инвариантно в каждой точке, так как область интегрирования можно всегда выбрать как угодно малой. Отсюда следует, что rottftf и roU/F являются ковариант-нымп компонентами би- и тривектора, bit» F — скалярная плотность, a btto: F — контравариантпые компоненты векторной плотности. Эти свойства операций rot и ЬІГО могут быть выражены следующими правилами:
