Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
а. Образуем из вектора ср( при помощи операции rot бивектор
Если 8 — скалярная плотность, соответствующая L (й = = LV-g), то можно из интегрального инварианта
Fik = dffjdx' — fdx",
(171)
а из него инвариант
(172)
5 23 ВАРИлЦ^ОЯЛЫЕ ПРИНЦИПЫ
получить вмражопие, oaacnoe для оондвром,лор>іьіх сил в электродинамике. Огріїнинімсн при эточ такими вария-пвями полей я координат, который исчезают яа границе области ингогрираиаиин. Считая вначале <р( и g„ иозави-самиии переменными, образуем иаряацвю й упомянутого рода. Просі ыс иьічіклииия на оснишшии (IfiS) дадут 68 -SWu-Є “б*,,
ГД9 для краткости положепо
Sih = ®'-'1 = ^"---------4" ^rt^ "^t5• (1”3)
Иитегрирул но <.аітнм, получаем
б js йл = j (2s'fiv> *• (I "4)
гда
s' = 33'Vd.t\ {171?)'
причем
chs73/ = 0. (175а)'
Зайж'мс» трцррь получршіе.ч ( і і ртт помопш Гіагкоіірчіго малого преобразования координат) вариаций бфі u 6g«,; &то достигается на ouiommuri (170) тем, чго и (174) заменяют 5фі и 6г„ на б’ф, її b*gn, поскольку 6q>( и исчезают на границе обляспг Учтя (InIl) н (168), получим сначала
S1SsIf1 = — е I' -f s4i
и затем, интегрируя по чостям, па осгомнпн (109) я (17оа) паіідом
0= j (2al6’*i('1 — SllVflgO ™ ~ J У'’w3'1 т b!m, 6) j‘dz.
Так как іюследпве выражепие дпл:і;по печемті, для ПРОИЗВОЛЬНОЕ то
Г«>'--(?--TIr®")' 11-«)
Эю тождество 6jдет цецользоьоііо в § ЗО u 54.
7*
100 Глава IV. Принципы общей теории относительности
начинаться с описания методов наблюдения — истинных или мыслимых, при помощи которых должны быть установлены координаты. Подобное ограничение свободы исследователя не представляется обоснованным, и одна аналогия, заимствованная из механики Ньютона, может прояснить этот вопрос. Хорошо известно, что механическую систему в механике Ньютона зачастую можно описывать с помощью уравнений Лагранжа^ что приводит к большим преимуществам. Ho уже в самих этих уравнениях используются обобщенные координаты, для выбора которых не дается никакого правила. Можно даже утверждать, что ценность метода Лагранжа заключается как раз в отсутствии подобных правил. Когда дело доходит до применений уравнений Лагранжа к конкретной физической ситуации, исследователь, разумеется, приписывает обобщенным координатам физический смысл, однако зачастую он может сделать это многими способами. Такая же процедура используется в общей теории относительности: в каждой рассматриваемой физической ситуации мы a posteriori приходим к интерпретации четырех координат события, не считая эту интерпретацию заранее существенным элементом теории.
Следующим шагом является изображение или представление всех рассматриваемых событий в виде точек в. четырехмерном римановом пространстве, которое обладает следующими двумя свойствами:
а) тензор Римана — Кристоффеля и тензор Риччи имеют ненулевое значение по крайней мере в одной точке пространства;
б) когда вблизи некоторого события введены локальные декартовы координаты, метрика принимает вид
з
ds2 - (dX*f — I Yi (dXlf- (4.101)
і = і
другими словами, риманово пространство таково, что оно „локально" совпадает с пространством-временем Минковского. Это не имеет места для произвольного четырехмерного риманова пространства, и поэтому пространство, принадле*-жащее подклассу используемых в общей теории относительности, мы будем называть римановым пространством-временем по аналогии с пространством-временем Минковского
§ 4.1. Пространство-время Римана и уравнения Эйнштейна 10]
специальной теории относительности. Требование (а) утверждает, что риманово пространство-время является искривленным и его метрика в координатах (л:) имеет вид
ds2~g^(x)dx]X'dx'‘. (4.102)
Теперь должно быть специализировано распределение вещества, история которого была „изображена1' таким образом. В качестве общего руководящего соображения используется принцип ковариантности или принцип эквивалентности; он утверждает, что не существует привилегированных координатных систем, так что исследователь может произвольно выбрать любую такую систему, по существу не меняя используемых им уравнений. Для обеспечения этого следует использовать тензоры и тензорные уравнения, и ниже этот принцип будет применен к описанию распределения вещества; § 3.8 подсказывает, как это может быть сделано при условии, что вещество считается идеальной жидкостью. В каждой точке-событии риманова пространства-времени жидкость будет описываться 4-вектором скорости и^, скалярной плотностью р и скалярным давлением р, причем все шесть величин рассматриваются как функции от четырех координат этого события. Если в данной точке-событии вещество отсутствует, то Mll, р и jo равны в этой точке нулю. 4-вектор скорости является единичным вектором, и поэтому всилу формулы(2.213) удовлетворяет соотношению
u^av. — = 1, (4.103)
тогда как тензор энергии жидкости по определению равен
(4Л04)
Этот тензор имеет те же свойства симметрии, что и тензор (3.804) специальной теории относительности, а кова-риантная и смешанная формы этого тензора аналогичны выражениям (3.806) и (3.807). Тензор энергии в специальной теории относительности удовлетворяет четырем уравнениям (3.805), которые утверждают, что векторная дивергенция тензора энергии равна нулю. Следовательно, они являются тензорными уравнениями и могут быть применены к любому риманову пространству-времени с метрикой (4.102). Поскольку,
