Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
hmK^b = Hu ~dv* (85)
где
ягh ayh
r>h і} ik і -ph pa -pft "рО! /о/»\
iih ~ Ihfi ~ У ~ *а ih* ' '
Заметим, что Alft — разность двух векторов в одной и той же точке. Поэтому левая часть (85) имеет векторный характер, а, стало быть, векторным характером обладает и правая часть (85). В силу этого величины R%h представляют собой компоненты тензора. Этот тензор и есть
*) Ср. также изложение Вейля в 1-м и 3-м изданиях Raum-Zeit-Materie1
5*
68 ГЛ, [I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
тензор кривизны, который в честь математиков, впервые его получивших, назван тензором Рима па — К ристоффе-ля. Смысл формул (85) становится наглядпее, если перейти в mix от произподпых к дифференциалам. Будем
дх> дхк ,
писать dx1 «место du и вместо T и введем
бивектор
do’* == dx’Sx* — dx” Sx\
Учтя антисимметричность Rijk относительно индексов / и к, мы можем придать равенству (85) вид*)
AS* = 1U^ijhVdoik. (87)
Аналогично можно получить изменение ковариантпых компонент вектора при параллельном переносе вектора вдоль замкнутой кривой. IIa основании (70) следует, что
= lIiR^Vdask, (88)
где
= тг-тг + Sctp - Га.ллГр>у) =
дх3 дхк
= 1 (d^ і ***« I
2 dxhdxi дх* di> dxhdxkJ
+ — ГаіЛАГрі;-). (89)
Далее, легко показать, что
Д5д“*»аД?в (90)
и вследствие этого
^hijk ~ ghoL^ijh' (91)
Из соотношения (89) следует, что удовлетворяет
условиям симметрии
Rfitjk Rhiki - Rihjk Rjkhi,
Rhijh ~t" Rhjki ¦+ Rhkij ~ 0 (92)
и поэтому на основании § 14 является бивектором вто-
*) В двумерном многообразии изложенный способ приводит
к известной связи между гауссовой кривизной и дефектом суммы
углов геодезического треугольника, которая впервые была указана Гауссом.
§ 17. РИМАНОВЫ НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 69
рого ранга (см. примеч. 5). Соотношения (92), как показал Гессенберг [72], могут быть также выведены непосредственно из определения тензора кривизны (87). Так как Римап вместо Rtltjk писал (hijk), эти величины иногда называют четырехиндексными символами. Они равны нулю в евклидовом пространстве, так как исчезают в той системе координат, в которой g,k постоянны, а следовательно, исчезают и в любой координатной системе. Это равенство нулю Rhijk является необходимым условием возможности преобразования формы gikdx4xk в форму
S Ote'4)2.
І
Из бивектора второго ранга Rijk свертыванием получаем линейный тензор второго ранга Rtk (см. примеч. 5):
Xik ~ ^fak = ga?JRcdflfc = g'1''-'Riuh?,- (93)
Его свойства симметрии следуют из равенств
gatR*m = g^Rnai = g^Ram-
Компоненты тензора Rik согласно (86) равны дга дТа
1^ik = + Tlrtfi - їЗД. (94)
Вторичным свертыванием из него получается инвариант кривизны *)
R = §’кРчь- (95)
Нужно еще заметить, что у Герглотца [88] и в работах Вейля [80] тензор кривизны определен со знаком, противоположным знаку, употребляемому здесь и у других авторов.
§ 17. Римановы нормальные координаты и их применения
Во многих случаях полезно введение следующей координатной системы, рассмотренной Риманом в диссертации. Пусть задана произвольная система координат Xі. Проведем из какой-нибудь точки Po все геодезические линии. Их направления определяются касательными векторами в точке Po с компонентами (dx"/ds) о. В некоторой
*) Впервые встречается у Липшица [87],
70
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
окрестности Po будет существовать только одна геодезическая линия, проходящая через Po и через заданную точку Р. Если s — длина геодезической дуги PPo, то точка P однозначным образом определяется величинами
у* и являются Романовыми пормальиыми координатами. Очевидно, координатная система у касается координатной системы х в Po так, что в ней совпадают gih и вообще компоненты любых тензоров; мы будем отмечать эти ком-
о
поненты кружком над буквой, например gtk. Произвольному преобразованию х-системы соответствует аффинное преобразование !/-системы. Оставляя теперь в стороне ж-систему, найдем выражение линейного элемента в нормальной системе. Заметим сначала, что в точке P0 по (80) все TJs исчезают, так что уравнения всех геодезических линий, выходящих из Po, являются линейными:
это значит, что риманова нормальная система координат является геодезической в точке Po- В произвольной точке P линейны уравнения не всех геодезических линий, проходящих через нее, а только уравнение одной геодезической линии, проходящей также через Po- Это обстоятельство выражается уравнениями
с координатами у. Эти уравнения должны выполняться для всех у. Наоборот, если для какой-либо координатной системы выполняются равенства (97) и (98), то она является нормальной системой. Можно показать [89], что вследствие этих соотношений линейный элемент ds2 имеет форму:
ds2 = gikdytdy* -f
+ S Phijh (у) (yhdy{ — if dyh) (уJdyh — i/'diji). (99)
(96)
0;
(97)
Гг, (у) yrys = 0,
(98)
где Г^(^)— значения коэффициентов связности в точке
(Ы)О'Ь)
В этой сумме пары индексов (hi) и (jk) пробегают независимо друг от друга все п(п~ 1)/2 возможных комбинаций, Из (99) следует (97) и (98), так что такая форма
