Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Не входя в детали, можно общий характер движения в области сферического пояса (в предположении, что р2 > q) представить следующим образом. Пусть в начальный момент точка P перемещается в горизонтальной плоско-
сти по касательной к окружности z = cos а, где 0 < а < -у л. Тогда в начальный момент 0 = 0, tp = Q и, следовательно,
2к = 2р cos a + Q sin2a, 2q cos а
Далее.
2L1
(8.9.5) (8.9.6)
V=-gl- (y'z2) -- -q(l-z2)-2z(ii-qz)+4p(l-Pz) (8.9.7)
и начальное значение z равно
—q sin2a — cos a (Q2 sin2 a) + 2p (Q sin2 a) =
= - sin2a (cos aQ2-2pQ + q) = -sin2 a F (Q). (8.9.8)
Мы получаем, что в начальный момент z > 0, если Q лежит между значениями Qi и Q2, равными значениям ср в установившихся движениях при 0 = а. Если Q лежит между Qi и Q2, то z = cos а соответствует нижней из двух граничных окружностей, т. е. z3 = cos а. Заметим, что к и ц. положительны.
Рассмотрим, как изменяется движение при возрастании Q от Q4 до Q2. Рассмотрим последовательность движений, когда нижняя окружность z = = Z3 = cos а фиксирована и угол а острый, так что Z3 > 0. Основной вопрос
заключается в том, обращается ли величина ср в нуль и меняет ли она зпак
в процессе движения. Соотношение (8.6.10) показывает, что знак ср совпадает
со знаком к — pz. Поэтому, если к > р, то ср не может обратиться в нуль.
Если же 1) к < р и 2) kip лежит между Z2 и Z3, то ср обращается в нуль во
s 8.9]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК; ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
133
Q sin2a = - Q (1 + cos а)},
(8.9.9)
(8.9.10)
время движения. Далее,
2 (р — к) = 2р (1 — cos а) -= (1 — cos а) {2р
гак что условие 1) эквивалентно неравенству
1 + cos а
Условие 2) удовлетворяется, если / (%1р) > 0, т. е. если рц > qk; поскольку к и Li задаются выражениями (8.9.5), (8.9.6), это условие эквивалентно неравенству
Q>q/p. (8.9.11)
Отметим теперь на рис. 20 точки на оси Q, соответствующие этим критическим значениям: это — точка В, где Q = q/p, и точка С, где Q = = 2р/(1 + cos а). Каждое из этих значений лежит менаду Q1 и Q2; второе из них больше первого, поскольку (как легко
проверить) значения (у) и F (тесова") 0ТРИ"
цательны и 2р
2р2—(/(l + cosa)
1 + cos a
р (1-j-cos a)
0.
Рис. 20.
Поэтому, если график пересекает ось Q в точке А (где Q = Q1) и в точке D (где Q = Q2), то точки А, В, С, D располагаются в указанном на рисунке порядке.
Представим значение Q для рассматриваемого движения изображающей точкой W1 занимающей все положения на отрезке AD. Когда W занимает положения А или D (т. е. Q принимает значения Q1 или Q2), тогда Z2 совпадает с Z3 и точка P движется по горизонтальной окружности. Когда же точка W занимает положение В. тогда
Q = y, 2А,= 2р cos a+ ^-sin2 a, 2li = 2q cos a + -^- sin2 a (8.9.12)
JL 4
¦¦ cos a + -~ sin2 a = Z2 = cos ?.
(8.9.13)
Этот случай является критическим, и ср обращается в нуль при z = Z2. Полином третьего порядка /(z) имеет вид
2р*
f (z) = q (z —cos a) (cos? —z) ( ^--cosaj — zj .
(8.9.14)
Траектория точки P имеет точки заострения на верхней окружности. Это почти очевидно, поскольку при z = Z2 точка P находится в покое. Если волчок начинает свое движение из состояния, в котором его ось находится в покое при 0 = ?, то ось начинает удаляться от вертикали. Формально это следует из такого рассмотрения: пусть траектория точки P пересекает меридиан под углом х, тогда
Igx = SmO^- =
Sm2O^L =
(1
z2)-^ =
z
2(k—.pz) VWW
(8.9.15)
134
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. VIII
В общем случае в нуле функции / (z) угол %=-^л. Но если (как это
имеет место в рассматриваемом случае) нуль совпадает с %/р, то в этой точке X = 0 и траектория точки P имеет точки заострения на линии z = z2. Если точка W занимает положение С, то
Q = TT^—, Ь = Р, |t = gco8a+2p« 1-С08(Х (8.9.16)
1 + cosa . 1+cosa v '
и
-i> = /(z) = g(Z-cosa)(l-z){(g(1^c2osa)-l)-Z}. (8.9.17)
В этом случае Z2 = 1 и точка P проходит во время движения наивысшую точку единичной сферы. Отметим, что ф в процессе движения не обращается в нуль. В самом деле,
Ф = Т^- (8.9.18)
Теперь можно представить, как изменяется движение оси волчка или, что то же, точки P на единичной сфере, когда Q возрастает от Qi до Q2. При перемещении точки W из положения А в положение С (рис. 20) Z2
at Ь) сі d)
Рис. 21.
увеличивается от Z3 до 1, проходя через критическое значение cos ?, когда W проходит через положение В; при дальнейшем перемещении точки W из положения В в D Z2 убывает от 1 до z3. Для значений й, лежащих в области ВС,
Ф меняет знак в процессе движения и траектория точки P делает петли. Рисунок 21, a — d иллюстрирует изменение характера движения при возрастании Q от Qi до Qz- Рис. 21,а соответствует случаю, когда точка И7 лежит между А и В, а траектория точки P проходит между двумя окружностями на единичной сфере, касаясь их поочередно. Рис. 21, b соответствует случаю, когда точка W занимает положение В; траектория имеет точки заострения; движение этого рода имеет место тогда, когда ось волчка начинает движение из состояния покоя при 9 = ?. Рис. 21, с отвечает случаю, когда W лежит между В я С; траектория, как показано, делает петли. Когда точка W занимает положение С, точка P проходит через наивысшее положение на единичной сфере. Если же W лежит между С и D, то мы снова приходим к движению
