Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1/2 38 Л. А. Парс
598
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
Будем предполагать, что центр масс G находится в покое и движение происходит в плоскости z = 0. В обозначениях § 29.10 будем иметь
Г = |т(х2 + Й + уИ(12 + ^), (29.14.1)
Jj _ Im^m3 , To3To1 . /Tt1TO2V (29 14 2)
где
^=(-^+^+(-041/+1])2, Ї
r2 = (a2x+?)2 + (a2z/+r,)2, [ (29.14.3)
r\ = Z2 + г/2. J
Возьмем систему осей, вращающихся с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Oz. Если через (g1; q2) и (q3, g4) обозначить составляющие векторов и и и в этих осях, то можно будет написать
T = Y т {(gt -сос/2)2 + Cq2 + Щі)2} + у p. {(g3- cog4)2 + (д4 + cog3)2}, (29.14.4) причем формулы для T1, г2, г3 не изменят своего вида:
A = { — «1^1 + ^+( — al?2 +?4)2, "I
^ = (?? + ?)2+?? + ?)2. [ (29.14.5)
І = rf + <& J
Последнее утверждение очевидно геометрически и легко моя^ет быть проверено непосредственно.
Чтобы составить выражение для функции Гамильтона, нужно в выражении
Yт (ЯІ + її) + T И (?*, VqI)-Y т(°2 & + -T ^ + -17 (29.14.6)
перейти от с/ к р с помощью формул
pi = m(qi — (uq2), р2 = пг(«2+<»9і)> І ,опл/тч
I (29.14.7)
/>з=и.(д3 —сос/4), р4 = р. (с/4 + o>g3). ) Проделав это, получим функцию Гамильтона в виде
Я = Ж^ + ^ + Ж^ + rf)-05(^»-+ ^4-«7.Pe)-U. (29.14.8) Коэффициент при —со в правой части равенства,
ЯіРг — qzPi + ЯзРі — ?4Рз, (29.14.9)
определяет момент количеств движения относительно точки G (см. (29.10.15)). С помощью уравнений Гамильтона легко убедиться, что выражение (29.14.9) сохраняет постоянное значение во все время движения. Этим обстоятельством мы воспользуемся для понижения порядка системы. Аналогичную процедуру мы уже применяли в § 29.8.
Составляющие вектора и во вращающейся системе осей равны g1; q2. Введем полярные координаты Qi, Q^ с помощью формул
Qi = Cc?!, q2 = SQ1, (29.14.10)
где
С = cos Q1, S = sin 04. (29.14.11)
§ 29.14]
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
599
Обозначим составляющие вектора v, параллельную и перпендикулярную к вектору и, соответственно через Q2 и Q3 (рис. 122). Тогда будем иметь
q, = CQ2 - SQ3, ?4 = SQ2 + CQ3. (29.14.12)
Необходимым контактным преобразованием будет расширенное точечное преобразование, определяемое уравнениями
Яг =
8W
Pr =
dW oQr '
г= 1,2, 3, 4,
(29.14.13)
где производящая функция W имеет вид
W = PiCQy + P2SQi + Рз (CQ2 - SQ3) + -ЬР4 (SQ2 + CQ3). (29.14.14)
Рис. 122.
Таким образом, уравнениями, определяющими преобразование, будут уравнения (29.14.10)
Px = CP1-SK, P2 = SP1 + CK, P3 = CP2-SP3, P^ = SP2 + CP3
.}
(29.14.12) и (29.14.15)
где через К обозначено выражение (Pi-Q2P3 + Q3P2)IQi-Заметим, что aw
Р* = -Щ=~ PiSQi + p*CQi +M-SQx- CQ3) + Pi (CQ2 -SQ3) =
= ЯіР2 — Я2Рі + ЯзРі — ЯіРз (29.14.16) определяет момент количеств движения относительно точки G. Поскольку контактное преобразование не содержит t, новая функция Гамильтона получается из старой простым переходом к новым переменным:
H =
1 ¦(Pl+KZ)+-L(Pl
¦ и.
(29.14.17)
(29.14.18)
Эта функция несколько проще, чем (29.8.13), полученная ранее другим методом.
Далее имеем
rl = ( — a1q1 + q3)2 + ( — a1q2 + qiY= ^
= (- Ci1CQ1 + CQ2 - SQ3Y + (- Ct1SQ1 + SQ2 + CQ3)* = = (-a1Qi + Q2y+Q\,
Г\ = (Gi2qt1 -f q3f + (Gi2CZ2 + ?/4)2 =
= (Ci2Cc?, + CQ2 - SQ3f + (Ci2SQ1 + SQ2 + CQ3)2 = = (Ct2Q1 + Q2Y + Ql r\ = ql±q\ = Q\.
Следовательно, функция H не содержит Qk и P4 = 0. Таким образом, P4 остается постоянным в течение всего времени движения, что, впрочем, мы уже видели раньше. Положим
P4 = Г. (29.14.19)
В результате получаем систему шестого порядка относительно переменных Qu Q2, Q3, Pu P2, P3 и функцию Гамильтона
где теперь К обозначает выражение (Г
Pl)-U, Q2P3 + Q3P2)IQu
(29.14.20)
38*
600
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
После того как система проинтегрирована, оставшаяся переменная — угол Qi — находится квадратурой из уравнения
(29.14.21)
§ 29.15. Равновесные решения. В качестве простого примера применения изложенной теории рассмотрим снова вопрос о существовании равновесных решений, т. е. таких решений, в которых частицы находятся в покое относительно вращающихся осей. Прежде всего заметим, что согласно (29.14.21), если такое решение существует, то
со = KKmQ1). (29.15.1)
Уравнения движения для системы шестого порядка (29.14.20) имеют вид
¦1 KQ3 т Qi '
qi
_ і
~~ т
Pu
Q2 = ^rP2 + г
q3
__ 1
Po
1 KQ2
- H-
ґз
т Qi '
Pi
_ 1 — т
К*
Qi
4- dU P-
P3
= —
1 KP2 dU т Qi ^dQ3'
1 KP3
9U
т Ql ^ 9Q2 '
(29.15.2)
В равновесном решении правые части этих уравнений обращаются в нуль, и в силу (29.15.1) будем иметь
p1 = o, P2= -ц<о<?з, P3 = ^Q2, ITiQ1V)*+ — = 0, Р3а>+~ = 0, p2go-
dU
oqi
OQ2
SQ3
Следовательно,
^+IH- ^+жг0' №2+ж=°-
(29.15.3)
(29.15.4)
Равновесным решениям соответствуют точки в пространстве (q1, Qt, Яз)і в которых функция
