Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
p\+p\ + pI = PU^, РІ + РІ + РІ = РІ + щ (29.12.12)
и
(QiQi + ъчь + MeVQiQi =
= с2с5С + c2s&S cos ф — S2C5JS" cos 9 + s2s5C cos 9 cos ф-4 s2s5 sin 9 sin ф, (29.12.13)
где cr = cos Q1., sr = sin Qr, C = cos {Q3 — Q6), S = sin (Q3 — Q6), а угол ф определен для индексов 4, 5, б точно так же, как угол 9 — для индексов 1, 2, 3. Кроме того, поскольку
cos 9 = cos ф =-4г, (29.12.14)
переменные q можно выразить через QmP, так что функцию H (29.12.1) также можно представить в переменных QmP.
Чтобы выразить составляющие момента количеств движения в новых переменных, воспользуемся формулами
q2p3 — q3p2=P2 sin Q sinQ3, Л
QzPi-QiPi= -P2 sin9 cos (?3, 1 (29.12.15)
QiP2-Q2Pi = P3, '
вытекающими из (29.12.8), (29.12.9). Последняя из этих формул уже упоминалась ранее, а две остальные легко выводятся непосредственно из чертежа. Интегралы момента количеств движения имеют вид
P2 sin 9 sin Q3 + P5 sin ф sin Qe = a, ^ — P2 sin 9 cos <?з — P5 sin ф cos (?6 = Ь, [ (29.12.16)
P3 +P6 = с. J
На этом завершается первый этап решения поставленной задачи. Заметим, что рассмотренное нами преобразование не является расширенным точечным преобразованием, поскольку переменные Qi, Q2, Q3 нельзя выразить через одни только переменные qi, q2, q3.
Перейдем теперь ко второму этапу. Воспользуемся интегралами момента количеств движения. Направим ось Oz вдоль (постоянного) вектора момента
1A 38 Л. А. Парс
594
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
количеств движения, так что будем иметь а = Ъ = 0, и совершим контактное преобразование, в котором третья составляющая P3 -j- P6 будет единственной переменной импульса.
Равенство нулю двух первых выражений (29.12.16) показывает, что sin (Q3 — Q6) = 0. Без потери общности можно принять (? = Q6, и, следовательно,
P2 sin 0 = — P5 sin cp, (29.12.17)
что ясно из геометрических соображений.
Теперь откажемся от принятого ранее деления формул на две группы: на формулы для индексов 1, 2, 3 и формулы для индексов 4, 5, 6. Перейдем от переменных (Q; P) к переменным (q'; р') с помощью уравнений преобразования
Qr = S;, Pr = LL, (29.12.18)
где
W=W(P; q') = Ч[Р, + q'2P4 + q'3P2 + q,Pb + q't (P3 - P6) + q'6 (P3 + P6).
(29.12.19)
В результате будем иметь
Qi = Qi, Qz = Qv Qs = Qb т-?в, Qt = Q2, Qb = Qi, Qe= — q'A Q\ Pi = Pi, Рг = Рь, P3 = P2, P't = P5, P', = P3-Ps, р'в = Р3+Pe
:}
(29.12.20)
Оба использованных нами преобразования не зависят от t, поэтому для получения новых уравнений движения достаточно выразить функцию Н, имеющую вид (29.12.1), через q' и р'.
Прежде всего, заметим, что координата q'a циклическая, что нетрудно было предвидеть, поскольку величина р\ остается постоянной в течение всего времени движения. Положим р\ = ?. Далее, q't = 0 в продолжение всего времени, и из формул (29.12.17) и (29.12.14) следует, что для любого t
Pt-Pl = P\-Pl, (29.12.21)
откуда
Р?-Р? = Pl-Pl = (Ps + Pe) (P3-Pe) = М- (29.12.22)
Это значение переменной р'ъ можно ввести в выражение для H до того, как будут написаны уравнения движения. В самом деле, обозначая составленную так функцию через H' (q[, q2, q3, qv qb, p'v p'2, р'г, р'4, р'я), а любую из переменных q[, q'2, q'3, q'4, p[, p'z, p'3, p\ — временно через ip, будем иметь
так что -7jp- = qs будет равно нулю в течение всего времени. Отсюда следует,
что при составлении функции Гамильтона (которая во всяком случае не содержит q't) можно положить q'b = 0, p'? = ? и
Р', = (Р?-Р?№- (29.12.24)
В результате получаем функцию Гамильтона от восьми переменных: q[, q'z, <?з> Pi> P2i Рз* Pf Задача, таким образом, свелась к системе восьмого порядка. После того как система проинтегрирована, циклическая координата q'e
§ 29.13]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
595
находится квадратурой из уравнения
"я', = -Щ-' (29.12.25)
Единственное затруднение при составлении функции H связано с преобразованием суммы cos 0 cos ср -f- sin 9 sin ср в правой части равенства (29.12.13). Учитывая (29.12.17), находим
P
cos 0 cos ср -f- sin 6 sin ср = cos 0 cos ср--=2 sin2 0 =
'^-^^-^)=^^-^ + ^ = 2^^-^-^1)- (29.12.26)
Итак, уравнения движения составляются с помощью следующей функции Гамильтона:
^(^4)+^(рі + І)-^-^-^ (29-12.27) (штрихи мы отбросили). Здесь
^ = °? —2ai<7i<7a (cos q3 cos q4 + ^~^^Р* sin q3 sin g4) + q\, 1
r\ = a\q\ + 2cc2(?1g2 (cosq3cosg44 ^Pisinq3 sint/4) + q\.
Для понижения порядка системы до шестого, вообще говоря, можно было бы воспользоваться интегралом энергии (см. § 22.4), но в данном случае эта процедура привела бы к значительным вычислительным трудностям.
§ 29.13. Невозможность тройных столкновений. Рассмотрим задачу трех тел в предположении, что центр масс G находится в покое. Введем функцию R:
MR2 = m2m3r\ + т3т^г + тцпцг*. (29.13.1)
Эта функция неотрицательна и симметрична по отношению к трем телам. В обозначениях § 29.10 (где была сформулирована эквивалентная задача двух тел) получаем (см. (29.10.6))
R2 = тг2 + iip2, (29.13.2)
