Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
т _В т В
У с_ її'
Подставляя их в уравнение В
-4 \n^~Tk+W^+m*i
? Ma1Ct2 (
(А + 1) 1 1
fc3 (А+1)3
к»
(к+iy
(29.11.17)
(fc+^2-(4-|) <*+«i>-jho,
(29.11.18)
получаем уравнение седьмой степени относительно к:
к (к + 1) {(To1 + m2) ft6 + (Зтої + 2m2) к* + (3mi + m2) Л3 — (те2 + Зто3) ft2 —
— (2m2 + 3m3) ft — (m2 + m3)} = 0. (29.11.19)
Отбрасывая корни ft = 0, —1, которые соответствуют случаю совпадения двух частиц, мы приходим снова к уравнению (29.3.14).
§ 29.12. Сведение к системе восьми уравнений. Вернемся к рассуждениям § 29.10. Мы видели, что задача трех тел фактически может быть сведена к задаче двух тел: частицы массы т, сосредоточенной в точке (х, у, z), и частицы массы р., расположенной в точке (|, и, Z); при этом действующие на частицы силы обладают потенциалом —U. Движение частиц описывается системой двенадцати уравнений Гамильтона. В настоящем параграфе мы сократим число этих уравнений до восьми, для чего воспользуемся теорией контактных преобразований.
Перейдем к другим обозначениям: вместо (х, у, z) будем писать (gl7 q2, q3), а вместо (?, п, Z) будем писать (?, qb, q0). Функция Гамильтона для системы будет иметь следующее выражение:
H = ±(р1 + Pl + Pl) +-^(Pl + РІ + Pl)-и,
в котором
U
т2т3 m3mi mim2\ r3 ) '
а ri> г2> гз определяются формулами
rl = ( — CC1Q1 + Я*)2 + ( — «iffa + Яь)2 + ( — °Ч?з + Qe)2, ) r\ = (°ЗДі + її)2 + (?? + Чъ)2 + («2?з + Qe)2,
' ql + ql+ql-
K = і
(29.12.1) (29.12.2)
І (29.12.3) J
Вспомним, что
P1 = TUqI, p2 = mq2, p3 = mq3, Pi = Рь = Мъ, Pe = Me ¦
(29.12.4)
Понижение порядка произведем в два этапа. Сначала перейдем от (q; р) к новым переменным (Q; P) с помощью контактного преобразования, определяемого уравнениями
qr = ^L, Рт = Щ;, г= 1,2, ...,6, (29.12.5)
592
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
причем производящую функцию W возьмем в виде
W = W (р; Q) = (pi cos Q3 + р2 sin Q3) Q1 cos Q2 + pQt sin Q2 + + Ip1 cos Q6 + p6 sin Qe) Qi cos Q5 + 0Q1 sin Q5,
где
P2 = (— Pi sin Q3 + p2 cos (93)2 + p\, 1 o2 = ( — Pi sin Qe+ p& cos Q6)2+ pi J
(29.12.6)
(29.12.7)
Заметим, что функция W есть сумма двух выражений, причем второе получается из первого путем замены индексов 1, 2, 3 соответственно на индексы 4, 5, 6. Имеем
Яі--Яз-
Q1 |cos<?2cos(23-¦¦Q1 j cosQ2 sin Q3 -,Q1Pl-SmQ2,
(—P1 sin Q3 +P2 cos Q3) P
( — P1 sin #3 +p2 cos Q3)
sin Q2 sin Q3J , 1
sin Q2 cos Q;
(29.12.8)
(29.12.9)
P1 ¦= (P1 cos Q3 + p2 sin Q3) cos Q2 + p sin Q2, ї
^2 = <?i { — (Pi cos <?з + P2 sin <?з) sin Q2 + P cos (?2}, p (— Pi sin Q3 + p2 cos Q3) p 3 p 2
и аналогичные формулы с индексами 4, 5, 6.
Поясним физический смысл введенных координат. Прежде всего заметим, что
Q\ = q\ + q\+°l (29.12.10)
откуда видно, что Q1 есть расстояние точки т от точки О в эквивалентной задаче двух тел, т. е. расстояние г3 в исходной задаче трех тел. Далее рассмотрим движение частицы т в эквивалентной задаче двух тел. Пусть радиус-вектор От пересекает единичную сферу в точке М; предположим, что плоскость со, содержащая начало О и элемент траектории частицы т, пересекает дугу большого круга z==0 единичной сферы в точке А. Тогда Q3 будет долготой узла А и AM = Q2 (рис. 121). Чтобы убедиться в этом, покажем, что если на рис. 121 угол хА обозначить через Q3, а угол /В AM — через Q2, то формулы преобразования сов-'5. падут с (29.12.8). Точку дуги большого круга
Z = Oc долготой — я + Q3 обозначим через В;
пусть плоскость со пересекает дугу большого круга zB в точке N. Составляющие импульса частицы т вдоль осей Ох, Oy, Oz равны , р2, р3; поэтому составляющая его вдоль OB равна (—P1 sin Q3 + р2 cos Q3), и так как вектор импульса лежит в плоскости со, то
Рис. 121.
cos 9 = ( P1 sin Q3+ р2 cos Q3)/p, sin 0 = рз/р,
(29.12.11)
где через 0 обозначен угол BN. Единичный вектор в направлении OM имеет составляющую cos Q2 по оси OA, составляющую sin Q2 cos 9 по оси OB и составляющую sin Q2 sin 0 по оси Oz. Составляющие этого вектора по осям
§ 29.12]
СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМЕ ВОСЬМИ УРАВНЕНИЙ
593
Ох, Oy, Oz соответственно равны
cos Q2 cos Q3 — sin Q2 cos 0 sin Q3, cos Q2 sin Q3 + sin Q2 cos 0 cos Q3, sin Q2 sin 9.
Приравнивая эти выражения величинам qi/Qi, q2IQ\, q3/Qi, получаем равенства (29.12.8).
Физический смысл величин P ясен из соотношений (29.12.9). Импульс частицы т есть векторная сумма вектора (pi cos Q3 + р2 sin Q3), направленного вдоль OA, и вектора р, направленного вдоль ON. Отсюда следует,
что Pi есть составляющая импульса в направлении ОМ, Pi = mQi. Далее, P2 равняется величине вектора момента количеств движения относительно точки О (этот вектор имеет направление ON', где N' обозначает полюс сферы, экваториальная плоскость которой есть со). Наконец, P3 = P2 cos 9 есть момент количества движения частицы т относительно оси Oz.
Формулы преобразования (29.12.8), (29.12.9) и соответствующие формулы с индексами 4, 5, 6 показывают, что
