Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Используем теперь тот факт, что H есть интеграл уравнений движения. Перейдем от переменных qi: q2, . . ., qn, р2, р3, . . ., рп к переменным Н, q2, q3, . . ., qn, Pz, P з, ¦ ¦ •> Pn 11 возьмем в качестве CZ0 произведение пространств: (2п — 2)-мерной области A0 пространства (q2, g3, • • ., qn, Pz, Pз, • • •i Pn) и интервала (H0 — 8,H0+ б) переменной Н. Область A0 является малой окрестностью точки (а2, а3, . . ., ап, ?2, ?3, . . ., ?n), a H0 есть значение H в точке А. Но H сохраняет постоянное значение вдоль траектории, откуда следует, что U является прямым произведением (2п — 2)-мер-ной области А пространства (q2, q3, . . ., qn, р2, р3, . . ., рп) и интервала (H0 — б, H0 + б) переменной Н. Интеграл (22.17.1) равен
— 26 J dq2dq3 ... dqndp2dp3 ,.. dpn, (22.17.2)
д
откуда следует, что интеграл
dq2 dq3 . .. dqn dp2 dp3 ... dpn (22.17.3)
л
является инвариантом.
В этом и заключается следствие теоремы Лиувилля, которое мы хотели вывести.
Доказательство можно несколько сократить, если воспользоваться теоремой § 22.4. Систему можно привести к гамильтоновой с функцией Гамильтона (22.4.5). Новыми зависимыми переменными будут q2, дз, ¦ ¦ ¦, дп, Р2, Рз, ¦ ¦ ¦, Pn, независимой переменной будет pi. Система будет неавтономна, поскольку функция Гамильтона ср содержит pit однако это не исключает возможности применения теоремы Лиувилля, и полученное выше следствие является специальным случаем теоремы Лиувилля для преобразованной системы.
§ 22.18. Последний множитель. Рассмотрим приложение теоремы Якоби о последнем множителе (§ 21.9) к автономным гамильтоновым системам. Для системы Гамильтона единица является множителем, причем простейшим. Рассмотрим сначала вопрос об определении траекторий. Теорема Яко-•би утверждает, что если известны т — 2 интегралов системы
dx> dx2 dxm /00 .Q ..
§ 22.18]
ПОСЛЕДНИЙ МНОЖИТЕЛЬ
453
и если с помощью этих интегралов задача сведена к интегрированию одного уравнения
X'ndxrn_i-X'm^1dxm = Q, (22.18.2)
то интегрирующий множитель определяется из правила Якоби.
Применим этот результат к исследованию автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим систему уравнений
dqj dq2 dpi _ dp2 ,99 ло o\
дН ~ дн_ ~ _дн_ — _дн_ ' (h.lo.o)
Op1 др2 Oq1 dq2
где
H=H (qu q2, ри р2).
Если известны три интеграла уравнений (22.18.3), то можно определить траектории изображающей точки в фазовом пространстве. Один такой интеграл нам известен: это — интеграл Якоби H = h. Допустим, что мы знаем еще один пространственный интеграл F = а, где
F = F (qu q2f ри р2).
Правило Якоби дает тогда возможность найти третий интеграл. Мы увидим, что это можно проделать весьма изящным образом.
Рассмотрим в области D фазового пространства два известных интеграла:
Я ^ = A, j
р(Яи ?2. Pu P2) = a, J
причем предполагается, что H^C1, F^C1 и что якобиан
'-Шй <22Л8-5>
не обращается в области D в нуль. Правило Якоби дает третий интеграл:
Ж^|^-|^)=С0П8*' (22-18-6)
где коэффициенты в подынтегральной функции выражены через ql: q2, h, а. Предположим, что уравнения (22.18.4) разрешены относительно pi, р2:
Pi = U ки Qz, h, а), р2 = /2 (</!, q2, h, а). (22.18.7)
Подставляя эти выражения в уравнения (22.18.4) и дифференцируя по а
полученные тождества,
находим
. дН dfi dpi да
дН
1 дР2
да
dF dfi dpi да
, dF _t дР2
df2 да
Отсюда
dfi да
Sf2 да
дН
дН
др2
dpi
= 1.
(22.18.8)
(22.18.9)
и третий интеграл (22.18.6) принимает вид
( Й- + -Sr ^ =const- (22-18-10>
454
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[Гл. XXII
Следовательно, форма Пфаффа
/і dqt + f2 dq- (22.18.11)
от qt q2 является полным дифференциалом, что нетрудно доказать непосредственно, не прибегая к теореме Якоби. В самом деле, заменим ри р2 в равенствах (22.18.4) их выражениями через функции fu /2 и продифференцируем полученные тождества по qt. Проделав это, получим
Oq1 ' Op1 Oq1 Op2 Sq1 ' !
ML + MLMl л. MLM?.— о і (22.18.12)
Oq1 Op1 Oq1 ' Op2 Oq1 ' J
Исключая из этих уравнений OfJOq1, получаем
д (H, F)
д(9и Pi)
Oq1
J
находим
д (Н, F)
dh _
д [Яг, Рг)
(22.18.13)
-?-- • (22.18.14)
Следовательно,
При выводе этого равенства мы использовали тот факт, что скобка Пуассона (Н, F) обращается в нуль, так как F есть интеграл уравнений.
Таким образом, форма f\dqx + f2dqz есть точный дифференциал dK функции К,
К = K(qu q2, h, а), (22.18.16)
так что третий интеграл можно записать в виде
— = const. (22.18.17)
Определение траекторий, таким образом, закончено. Однако в рассматриваемой задаче можно пойти дальше и построить еще один, четвертый интеграл, который, разумеется, будет зависеть от t. Рассуждая подобно тому, как мы это делали при выводе соотношения (22.18.9), находим
Ml Ml
Jr=^b-T- (22.18.18)
Op2 Op1
Приравнивая выражения (22.18.3) дифференциалу времени dt, получаем
