Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ii =-^-sin сог, |2=—2^L-(I-COSCOi), I3 = MCOSCOi, |4 = 0. (23.2.31)
§ 23.3. Случай постоянных коэффициентов. Рассмотрим уравнения
\ = А\, (23.3.1)
и пусть элементы матрицы А будут постоянны. Как мы видели, решение в этом случае имеет вид
l = etAb. (23.3.2)
Этот результат легко получается, если матрица А имеет диагональную форму. Тогда уравнения имеют вид
і = Яг|г, г = 1, 2.....тп, (23.3.3)
где Яг = аТт. Система распадается на тп независимых уравнений. Решением будет
|r = еагбг, (23.3.4)
что совпадает с (23.3.2)," поскольку матрица е1Л является диагональной:
еЛі 0 ... О О еа* ... О
(23.3.5)
О 0 ... еа"
Если в уравнениях (23.3.1) произвести преобразование | = Сц, где матрица С неособенная, то получим
Ti = O-1J-CTi. (23.3.6)
Матрицу С можно выбрать таким образом, чтобы матрица C1AC имела нормальную форму Жордана J. Тогда
г1 = ,7т|. (23.3.7)
Если все собственные значения матрицы А различны или если они не все различны, но элементарные делители все простые, то матрица J является диагональной и уравнения в вариациях могут быть представлены в форме (23.3.3).
В общем случае имеем
А - CJC1 (23.3.8)
и
єіа = сєіґс-іш (23.3.9)
§ 23.3]
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
463-
Далее,
J
'J0 О О О J1 о
(23.3.10)
О 0 0 ... Jkl
где J0 — диагональная матрица, диагональные элементы которой K1, K2,. . .. ., Kq не обязательно все различны, и
Kn+3 1 о ... о о \ о о
о к,
^q+s
о к
0 OO
о о о ... ^ „q+s Матрица J6 имеет rs строк и столбцов, и
m.= q + rt+r2 + ... +rh.
Далее имеем
' etJo О О
1,2,
ООО
(23.3.11)
(23.3.12)'
(23.3.13),
Матрицу elJ" нетрудно вычислить. В самом деле, как мы видели, эта' матрица имеет диагональную форму с диагональными элементами еа»,
Єа2,..., eaq.
Вычислим матрицу etJs. Имеем
где
Js — Kq+si г s'
'0100 0 0 10
Ks,
Ks
0 0 0 0 .0 о о о
0 OV
о о
О 1
о о/
(23.3.14)
(23.3.15>
есть матрица, все элементы которой, кроме тех, что расположены непосредственно справа от главной диагонали, равны нулю. Матрица Kl получается из Ks путем сдвига всех единиц на один элемент вправо, матрица К] — путем сдвига всех единиц на два элемента вправо и т. д. Матрица Krss является нулевой; такой же будет и матрица K84 при N > rs. Таким образом, степенной ряд для etK* является конечным и
,1Ks
1 t ±
О 1 t
rs-l
(г.-l)! (г.-З)! (г,-2)!
(г.-2)! trs-3
ООО ООО
1
о
(23.3.16)
464
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
Но
etjs ^ eVVf<, (23.3.17)
и, таким образом, все матрицы в (23.3.13) вычислены. Окончательно матрица е'А находится из (23.3.9).
В качестве простого примера рассмотрим случай т = 4, причем будем считать,,что матрица А имеет нормальную форму Жордана J:
¦ X1 О О о
Jr=I о *«о о . (23_ЗЛ8)
Тогда
О О X3 1 О О О X3,
. Є ."""„. I (23.3.19)
= Ce1^C-I. (23.3.9)
Таким образом, если матрицу А удается представить в диагональной форме (т. е. если эта матрица имеет простые элементарные делители), то решение системы (23.3.1) имеет вид
т
?г=2^г.е^«. (23.3.20)
В частности, если постоянные К все чисто мнимые, то решение содержит лишь синусы и косинусы, аргумент которых пропорционален t. В этом случае величина iii, будучи малой в начальный момент, остается малой и в дальнейшем, так что исходное движение устойчиво по первому приближению.
В общем случае решение содержит члены вида tNe%t. Если все постоянные X имеют отрицательные вещественные части, то | | | 0 при t оо, и система асимптотически устойчива по первому приблиокению. (Это следует из тог факта, что при положительных N ж к выражение tNe~ht стремится к нулю, когда ?->• оо.)
Если хотя бы одно X имеет положительную вещественную часть, то мы имеем неустойчивость по первому приближению! отклонение, определяемое линейным приближением, не остается малым. Если имеется кратное чисто мнимое к и соответствующий элементарный делитель не является простым, то решение уравнений Якоби содержит члены вида tN cos ??, tN sin f>t, что опять-таки дает неустойчивость по первому приближению.
§ 23.4. Случай периодических коэффициентов. Вернемся к рассмотрению общего случая уравнений в вариациях
1 = 41, (23.4.1)
где коэффициенты ars являются известными функциями от t.
Матрица F(t) размером mxm, столбцы которой представляют т линейно независимых решений 1 уравнений в вариациях, называется фундаментальной матрицей. Фундаментальная матрица F (t) удовлетворяет уравне-нению
F{t) = A(t)F{t).
(23.4.2)
S 23.4]
СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
465
Если F{t) — фундаментальная матрица, то любая другая фундаментальная матрица может быть представлена в виде Fit) С, где С — неособая матрица размером и X тс постоянными элементами crs. Это следует из того, что любое решение линейной системы (23.4.1) может быть выражено в виде линейной комбинации (с постоянными коэффициентами) т независимых решений. В частности, матрица JS (Z) (см. § 23.2) является фундаментальной матрицей: ее первый столбец, например, представляет решение, удовлетворяющее начальным условиям {1, 0, 0, . . ., 0}. Итак, любая фундаментальная матрица имеет форму JS (Z) С.
