Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Выше мы рассматривали положения точки P лишь для дискретных моментов времени: 0, т, 2т, . . ., но теорема, очевидно, справедлива и тогда, когда t изменяется непрерывно.
Движение, при котором система бесконечное число раз возвращается в окрестность начального состояния, Пуанкаре называл «устойчивым в смысле Пуассона».
§ 22.9]
ЭГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
441
Отметим, что основная идея в доказательстве теоремы Пуанкаре заключается в использовании теоремы Лиувилля о сохранении меры при преобразовании с помощью оператора Tt. Никакие другие свойства уравнений Гамильтона здесь не используются.
Ранее, при изучении квазипериодических движений (§ 18. 6), мы уже встречались с теоремой, близкой по своему характеру к теореме Пуанкаре. Было показано, что изображающая точка проходит бесконечное число раз в произвольной близости от своего начального положения в фазовом пространстве.
Теорему Пуанкаре можно считать отправным пунктом в новом подходе к задачам классической динамики. До сих пор мы полагали, что решить задачу динамики — это означает найти зависимость положения системы от времени t и заданных начальных значений координат и скоростей частиц. Для большей части задач, однако, такое решение получить не удается. Именно это обстоятельство вызвало столь большой интерес к теореме Пуанкаре и обусловило развитие связанных с нею теоретических вопросов. Основное внимание теперь уделяется не изучению индивидуальных свойств характеристик, а исследованию статистических свойств целого семейства характеристик.
§ 22.8. Примеры инвариантных областей. Рассмотрим систему, для которой функция Гамильтона ограничена снизу в фазовом пространстве. Можно считать, что точная нижняя грань функции Гамильтона равна нулю: этого всегда можно добиться, если прибавить к этой функции надлежащим образом выбранную постоянную (что не изменяет уравнения движения) или изменить произвольную постоянную в функции V. Будем предполагать также, что «поверхность» H = h (h > 0) является замкнутой. Но функция H представляет собой интеграл уравнений Гамильтона, так что поверхность H = h (h > 0) является инвариантной областью. Замкнутая область, ограниченная двумя такими поверхностями (т. е. множество точек ж, для которых hi ^ H (ос) ^ h2), также представляет собой инвариантную область.
В качестве простейшего примера рассмотрим гармонический осциллятор
q = р, р = —q (22.8.1)
(единица времени нами выбрана так, чтобы период колебаний составлял 2л). Эта система имеет одну степень свободы, фазовое пространство является двумерным, и траектории H = const представляют собой окружности
\(q-+p-) = \ А>0. (22.8.2)
Изображающая точка равномерно движется по ходу часовой стрелки вдоль каждой из этих окружностей с угловой скоростью, равной единице. Окружность г = R (где г2 = = q2 + р2) при R > 0 является инвариантной областью: действительно, эта область содержит как раз одну траекторию. Область Ri ^ г ^ R2 также является инвариантной. Соответствующее движение жидкости представляет вращение ее как твердого тела, и в качестве инвариантной области Q можно взять любую окружность R = Ri, или любой круг R Ri, или же круговое кольцо Ri < г < R2.
§ 22.9. Эргодические теоремы. Теорема Пуанкаре (теорема возвращения) устанавливает существование таких движений, когда изображающая точка бесконечное число раз возвращается в исходную область а. Более глубокие свойства этих движений связаны с выяснением следующего вопроса: какую долю времени своего движения изображающая точка находится в области а? Аналогичный вопрос возникает и тогда, когда мы имеем дело с дискретными моментами пт. Именно, спрашивается, какая часть этих моментов характеризуется попаданием изображающей точки в область а? *) Ответ на эти и аналогичные вопросыдаетсятак называемымиэргодическимитеоремами**).
*) См. определения С-устойчивости и .D-устойчивости в § 21.12. **) Эргодическая теорема впервые была доказана Дж. Г. Биркгофом, Ргос. Nat. Academy of Sciences, Vol., 17, 1931, стр. 656. Несколько более слабый результат незадолго до этого был установлен Дж. Нейманом. Доказательство, приведенное в тексте, принадлежит А. Н. Колмогорову. Оригинальное доказательство для случая, когда усреднение производится по дискретным значениям t, см. в работе Ф. Рисса: F. R і е s z, Comment. Math. HeIv., Vol. 17, 1945, стр. 221.
442
уравнения гамильтона
[Гл. XXII
Прежде чем переходить к рассмотрению этих теорем, приведем некоторые сведения об интегрировании по точечным множествам. При этом нам придется пользоваться понятием о мере Лебега точечного множества вместо более простого представления об объеме (протяженности), которым мы удовлетворялись до сих пор. В соответствии с этим в дальнейшем (до конца § 22.17) мы будем рассматривать интегралы Лебега, а не интегралы Римана, которыми обычно пользуются в других разделах классической динамики.
Рассмотрим преобразование Tt, определяемое решениями автономной системы
Xr = Хг, г = 1, 2, . . ., т. (22.9.1)
Предположим, что div Ж = 0, так что преобразование сохраняет меру. Рассмотрим инвариантную область Q, имеющую конечную меру mQ. Пусть / (P) — функция положения, определенная в области Q и суммируемая в этой области. Обозначим через P1 точку, в которую переходит точка P в результате преобразования T1. Иными словами, если движение изображающей точки начинается в момент Z = O из положения P и определяется уравнением (22.9.1), то в момент Z эта точка приходит в положение Pt.
