Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
хт = [irar, г = 1, 2, . . ., т. (21.15.2)
Преобразование при этом обладает следующим свойством:
\Ва\<.к\а\, (21.15.3)
где &< 1 — число, лежащее между наибольшим из | р,г | и 1. Докажем сначала простую лемму: если
|_Ba|<Z|a|, (21.15.4)
где 0<J<1, то |Дпа| —> 0 при п —> оо. В самом деле, имеем
|i?2a|<Z|.Ba|<Z2|a| (21.15.5)
и вообще
\Впа\<1п\а\. (21.15.6)
Последнее выражение стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. Преобразование
х = Та, (21.15.7)
дающее при t = x решение точных уравнений, обладает тем свойством, что
|Га-.Ва| = 0(|а|). (21.15.8)
Это свойство следует из того, что функции ср имеют непрерывные вторые производные (фактически оно имеет место и при более общих предположениях). Отсюда заключаем, что существует положительное число E0 такое, что если ! а |< е0, то
|Го-Во|<'-^-|о| (21.15.9)
21.151 ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — ЛЯПУНОВА 427
|Га|<|Та — Ва\ + \Ва\< _±1| а| = Z| о|, (21.15.10)
где 0 < I < 1. Следовательно, согласно лемме | Тпа \ 0, откуда следует асимптотическая устойчивость.
2) Неустойчивость. Предположим теперь, что хотя бы одно значение рг > 0, так что соответствующее | \iT | > 1. Как и ранее, матрицу В считаем представленной в диагональной форме.
Для доказательства неустойчивости оператора T поступим следующим образом. Введем вещественную квадратичную форму
Q(X)= S (1-І |ir !¦)1^1«. (21.15.11)
г=1
Имеем
Q(X)-Q(Bx)= § (1-|М2)2|*г|2. (21.15.12)
r=l
Правая часть представляет определенно-положительную форму, так что существует положительная постоянная с такая, что при всех х
Q(x) — Q(Bx)>2c\x\2. (21.15.13)
Из соотношений
\Тх\ — \Вх\ = 0(\х\), \Вх\ = 0(\х\) (21.15.14)
следует, что
Q(Tx) —Q (Bx) = O (I XI2). (21.15.15) И*з (21.15.13) и (21.15.15) приходим к неравенству
Q(X) — Q(Tx)>c\x\\ (21.15.16)
справедливому при малых значениях | х |, например при | х | < к.
Далее, поскольку по крайней мере одно из | p,r | превышает единицу, можно указать точку а, причем | а | произвольно мало, такую, что Q (а) будет отрицательным, например, Q (а) < — а< 0. Далее доказательство проведем от противного. Предположим, что каждая из величин | а |, | Та |, I Т2а I, ... не превышает и, и покажем, что это предположение приводит к противоречию.
Поскольку I Тпа |<х при всех значениях п, из условия (21.15.16) следует, что
-а>С?(<х)>С?(Га)> .. . > Q (Тпа) (21.15.17)
при всех п. Так как из неравенства Q (х) < —а следует | х \ > Ъ, Ъ > 0, то находим, что | Тпа | >¦ Ъ при всех значениях п. Обращаясь снова к условию (21.15.16), получаем неравенство
Q (Га) - Q (Тг+1а) > с | Га |2 > сЪ\ (21.15.18)
справедливое при всех г.
Напишем теперь неравенства (21.15.18) для г = 0, 1,2, . . ., п — 1 и сложим их; проделав это, будем иметь
— Q (Тпа)>-Q(a) + ncb2> a + neb2, (21.15.19)
откуда следует, что Q (Тпа) —>- —оо при п—>- оо. Однако это противоречит предположению о том, что I Тпа \ < к, поскольку неравенство | х | < к показывает, что величина | Q (х) | ограничена. Прийдя к противоречию, мы тем самым доказали теорему.
428 СИСТЕМЫ Gn СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл XXI
Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование х=Ba (где матрица В не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных значений матрицы В будет равно | В |, определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы | В | ^ 1. Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы brs матрицы В должны быть равны значениям частных производных dq>r/das в точке а = 0. Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо, чтобы якобиан
д(фі, фг, ¦•., фт) д (ось а2, ..., ат)
при о = 0 не превышал по абсолютной величине единиці
Следствие. Рассмотрим преобразование Т, для которого матрица А линейного приближения имеет собственные значения, не превышающие единицы, I рг I < 1 ПРИ г = 1) 2, . . ., тп. Оператор T асимптотически устойчив. Пусть к — число, лежащее между наибольшим из | pr | и единицей. Тогда существуют положительные числа п и с такие, что если \х | < п, то
\Тпх\<скп (21.15.20)
при п = 1, 2, 3, ...
Для доказательства введем преобразование U:
Ux = LTx: (21.15.21)
Тогда
Unx = -L-Tnx. (21.15.22)
Матрицей для линейного приближения к U является -j- А; собственные
значения ее равны рг/&, причем все они не превышают единицы. Поэтом'у преобразование U устойчиво, и можно указать такие п, с, что
I Unx I < с (21.15.23)
при всех целых положительных значениях п. Неравенство (21.15.20) следует непосредственно из (21.15.22).
§ 21.16. Критический случай. Теорема Пуанкаре — Ляпунова ничего не говорит нам о критическом случае, когда некоторые из Хг имеют чисто мнимые значения.
Если тп = 2, то критический случай соответствует особой точке типа центра; мы видели в § 19.4, что хотя линейное приближение F0 дает устойчивость, точное поле F может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Случай тп > 2 отличается от случая тп = 2 тем, что при наличии кратных чисто мнимых корней Хт неустойчивость можно получить уже в линейном приближении (§ 21.11). Даже в том случае, когда линейное приближение дает устойчивость, точное поле может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Мы приведем пример каждой из этой возможностей в случае m = 4. В первом из этих примеров рассматриваются малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум. Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво (гл. IX).
