Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
VhHi + v,.2Li2 + . . . + vmu„ = 0, г = 1, 2, . . ., (п — р). (18.8.13)
S 18.10]
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
343
Если коэффициенты krs рациональны, то коэффициенты vrs также рациональны и можно считать их целыми числами. Тем самым устанавливается степень вырождения системы независимо от начальных условий.
§ 18.9. Соотношения между q и v. Величины q являются периодическими функциями от V с периодом, равным единице, по каждому v. Чтобы получить соответствующие зависимости в явной форме, заметим, что из соотношений (18.5.4) и (18.6.1) следует, что
п Qr п
у. Г 'ursi^)dxT= V 8 = 1,2, п. (18.9.1)
і V/r Ы ?
Разреніая эти линейные уравнения относительно и, находим
п
я «г 2 listers (Xr)
V1=J] \Щ^===-ахг, /=1,2, ...,п. (18.9.2)
г = 1 І V/r(*r)
Отсюда следует, что при прохождении qm полного цикла своих значений ь>г получает приращение 81т.
Соотношения между q и v можно представить в значительно более простой форме, если перейти к параметрам 1Г- Подставим в К параметры а, выраженные через /. Тогда мы получим функцию вида К' (qt, qz, . . ., qn; I1, h, . . ., In), т. е.
К (q; а) = К' (q; I). (18.9.3)
Далее, учитывая (18.8.3), находим
'¦^4flr^».f. .-1,2....,». 08.M)
»•=1 Г=1
С другой стороны,
п
9S = S °Wr, s = l, 2, . . .,п. (18.9.5)
r=l '
Из формул (18.9.4) и (18.9.5) получаем
дК' г = 1,2,..., п. (18.9.6)
dir '
Эти уравнения представляют собой особенно простую форму соотношений между q и v.
§ 18.10. Малые колебания. Применим теперь теорию квазипериодических движений к ряду конкретных динамических систем.
Рассмотрим сначала полностью разделимую систему, а именно колебательную систему, отнесенную к главным координатам (гл. IX). Хотя этот пример и элементарен, однако он хорошо иллюстрирует полученные теоретические результаты.
Кинетическая и потенциальная энергии системы в этом случае выражаются формулами
Г=1Г2 ?? = 4"S Pr' v = ir1lm2X- (18Л0Л)
г= 1 г= 1 г= 1
Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид
2 {(|B2 + m^}=2ai- (18.10.2)
г=1
344
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIH
Полный интеграл равен К\-\-Кг-\-... -{-Kn, где Кт онеределяется из уравнения
причем
п
т%а\--=аи (18.10.4)
2
г=1
а и—1 остальных параметров а2, а3, . ..,ап выражаются формулами
Ymlai = «i — <*2— «з— • • • — «72, ^
1
тора2. = ar, г = 2, 3, . .., га. J
[ (18.10.5)
Таким образом,
Следовательно,
Яг
KT = mr j ~\/ar — x*dx. (18.10.6)
о
Ir = nmrar. (18.10.7)
Из формул (18.10.4) и (18.10.7) получаем
«1 = ?- faiA+To2J2 + ... + TOnJn). (18.10.8)
Таким образом, мы имеем особый случай, отмеченный в § 18.8. Частоты системы имеют значения
"'-?"=?' - = 1.2....... (18.10.9)
Чтобы найти явное соотношение между д и и, воспользуемся способом, описанным в § 18.9. Имеем
Чг _
K'r = mr \ у -^--x*dx (18.10.10)
о
и, следовательно,
Ir qr дК' _ дК'г__г dx___{• dx __
Vr = ~bTr dir ~ 2я J f~l- ~ 2я J -l/a2-ж2 ~ 2я ' (18¦10.H)
r, яго,-
где g> = e,. sin 0Г. Функция qT выражается через угловые переменные следующим образом:
gr=T/-i^-sin2jii?r. (18.10.12)
В рассматриваемом случае каждая координата дг зависит только от соответствующей переменной vr, в общем случае это, разумеется, не имеет места.
С помощью соотношений (18.10.5) и (18.10.7) легко выразить J через а:
J1 = ^-(CZ1-а2— а3 — — а„), ^
1 } (18.10.13)
а также а через /:
Zr = -^-ar, г = 2, 3, ...,re, I
ГПг J
1 Л
«1 = =^-("? J1+m2J2+ ...+TOnZn), I
1 f
ar==^-TOrZr, r = 2, 3, ...,га. J
(18.10.14)
§ 18.11]
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
345.
Матрицы со и ^ легко составить, исходя из определения элементов cors или по-формулам (18.8.3), (18.8.4). Получаем
2п
TO1
О О
2я
2л
mi 2л
mi 0
га2
0
2л
т3
0
0
" TO1
"2ЇГ
т2 2я
тз
~2л ¦ ¦
2я
0
т2 2л
0 ..
0
0
0
TO3
2я ••
0
0
0
0 ..
"Ы 2я
2я
О О
2я то„
(18.10.15),
(18.10.16).
Значения переменных v в некоторый момент t равны
»i=-§-<'-fc>.
".~g-(*-?l-?.),
s = 2, 3, ..., n, j
(18.10.17>
.а значения переменных q равны
JTm1
яі = J/^-J^-sin mi («—?l)>
9s
г ято8
sin ms (t—?i —?«),
f = 2, 3, .. ., n. j
(18.10.18)
§ 18.11. Сферический маятник. Рассмотрим вновь задачу о сферическом маятнике (§ 5.3), на этот раз с точки зрения теории квазипериодических движений. Движение носит характер либрации по каждой координате. Если в качестве одной из координат взять азимутальный угол <р, то мы будем иметь особый случай. В самом деле, в этом случае координата <р не колеблется между двумя предельными значениями, а все время возрастает. Однако если ввести координату s = sin tp, то будем иметь колебания между пределами + 1 и —1.
Практически нет необходимости полностью отказаться от использования монотонно изменяющейся переменной ф, но нельзя при этом упускать из виду, что требуется внести несущественное изменение в общую теорию. Имеем (см. § 5.3)
