Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Конфигурация системы в произвольный момент t определяется уравнением
Чг = (M 4- oi, \i2t 4- S2, ¦ • •, M + 6n). (18.6,8).
Каждая функция tyr периодична по любому из своих аргументов с периодом, равным единице. Однако, как уже указывалось ранее, функции qr, вообще говоря, не являются периодическими по t. Координаты q будут периодическими функциями t с периодом а в том случае, если все величины
ані, 0"H2, • • •, 0"Hn
будут целыми числами. Такой множитель существует только тогда, когда все отношения Нг/^і, Нз^М-ь • • •> I1Jr1I суть числа рациональные. Замкнутая периодическая орбита получается лишь при условии, что частоты связаны п — 1 независимыми линейными соотношениями с целыми коэффициентами.
Если указанное условие не выполняется, изображающая точка в пространстве V никогда не возвращается в первоначальное положение; то же самое можно сказать и относительно фазового пространства. Но даже если это условие не выполняется, т. е. не существует множителя т такого, что все величины тнь тн2, • . ., Th« представляют собой целые числа, то все же можно выбрать такое произвольное (большое) число т, что все эти величины будут сколь угодно мало отличаться от целых чисел. Это — одна из форм, выражающих теорему Дирихле. Вследствие равномерной непрерывности q и р (как функций от v) аналогичное утверждение можно высказать и относительно фазового пространства. Можно указать такое, достаточно большое, значение времени т, по истечении которого изображающая точка в фазовом пространстве окажется в заданной окрестности є своего исходного положения. Это объясняет термин «квазипериодическое движение».
§ 18.7. Стандартный куб. Теперь становится очевидным, что в у-про-странстве мы имеем периодическую структуру, аналогичную структуре в 6-пространстве. Две точки в ^-пространстве соответствуют одной и той же точке в фазовом пространстве, если их относительное перемещение определяется
п
вектором 2 mrUr, где m — целые числа, а С — единичные векторы, парал-
г= 1
дельные координатным осям. Все пространство v, таким образом, можно разбить на ячейки в форме куба единичного размера так, что конгруэнтные точки в двух любых ячейках будут эквивалентны, т. е. будут соответствовать одной
22*
340
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
и той же точке фазового пространства. Поэтому естественно сосредоточить внимание на рассмотрении стандартного единичного куба и отнести отрезок траектории, лежащий в каком-либо кубе, к конгруэнтному отрезку в стандартном кубе. Траектория будет состоять из параллельных отрезков прямых, проходящих через стандартный куб.
Расположим точку P0 (81, S2, ¦ • • > соответствующую моменту времени t = 0, в вершине стандартного куба. Пары противоположных граней стандартного куба являются (п — 1)-мерными плоскостями, определяемыми уравнениями
vT = 6>, Vr = 6, + 1, г = 1, 2, . . ., п. (18.7.1)
Положение изображающей точки в некоторый момент t относительно точки
P0 определяется формулами vr - 6Г= (M). г=1,2, п, (18.7.2)
где через (х) = X — [х] обозначена дробная часть числа х. Как мы видели, изображающая точка никогда не возвращается в свое исходное положение P0, если только частоты рг не связаны п — 1 линейными соотношениями с целыми коэффициентами.
Если имеется п0 таких соотношений, причем 0 < Ji0 < п — 1, то движение носит исключительный характер; в таких случаях говорят, что движение является вырождающимся. Поясним это. Предположим сначала, что щ = 1, т. е. что существует одно соотношение вида
¦ViM-i + ¦V2^2+ . . . + vnp,n = 0, (18.7.3)
в котором V — целые числа, не все равные нулю. Легко дать геометрическую интерпретацию этому соотношению: оно выражает, что траектория в д-простран-стве ограничена многообразием меньшего измерения, чем п. В самом деле,
п п п
0=1 S Vr\Lr\ t= S VrlUrt] + S VrilXrt), (18.7.4)
r=l r=l r=l
n
откуда следует, что 2 vr (M) есть целое число, положительное, отрицатель-
г=1
ное или нуль, и изображающая точка в силу (18.7.2) лежит в одной из плоскостей
2 Vr(Vr - Or) = 0, ±1, ±2, . . . (18.7.5)
Отрезки, изображающие орбиту, в этом случае не проходят вблизи всех точек куба, а ограничены системой (конечного числа) эквидистантных параллельных плоскостей. На рис. 68 иллюстрируется случай п = 3, когда имеется одно соотношение вида (18.7.3). Аналогично (для системы с п степенями свободы), если имеется п0 независимых соотношений, то отрезки ограничены многообразием (п — п0) измерений.
Если нет соотношений типа (18.7.3), то отрезки траектории плотно заполняют стандартный куб. Если Ki, K2, - - -, Kn — произвольная точка единичного куба, а є — заданное сколь угодно малое положительное число, то можно указать такое (достаточно большое) число т, чтобы
I (Ll1-T) — К I < є, г = 1, 2, . . ., п.
Это неравенство выражает теорему Кронекера. Изображающая точка бесконечно много раз проходит в произвольной близости от любой точки единич-
§ 18.8]
ПОСТОЯННЫЕ Ir
341
ного куба. Аналогичное утверждение справедливо и в отношении соответствующей области фазового пространства. Мы получили результат, уже доказанный ранее в § 18.6. Если движение является вырожденным, то траектория изображающей точки плотно заполняет соответствующее многообразие ^-пространства (см., например, рис. 68).
