Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
4. Ортогональность собственных форм. Между амплитудами Arn и Arm, определяющими две какие-либо собственные формы (п и тп), существует соотношение, выражающее важное свойство ортогональности собственных форм. Установим это соотношение исходя пз общей формы уравнений (4.28) для амплитуд. При к2 = к\ какая-либо /-я строка этой системы, записанная для п-й частоты, может быть представлена в виде
90 ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Умножив равенство (4.57) на амплитуду Ajm и сложив все уравнения, получим
SS SS
кп Ajm djrArn “ Ajm CjrArn, (4.58)
j=l J-=I j=1 г= I
или, после изменения порядка суммирования в обеих частях равенства,
SS SS
кп АГл QjrAim ~ Arn CjrAjm, (4.59)
г=1 j=l ?¦=і ;=1
Так как с]Г = crj, можно записать
S S
2 CjrAjm = 2 CtjAjm. (4.60)
i=i j=i
Ho согласно (4.57)
S S
CrjAjm = Am 2 QfjAjrnі (4.61)
j=l J=I
следовательно, соотношение (4.59) принимает вид
SS SS
Ап Arn CijrAjm I' jn 2 Arn QjrAjm (4.62)
7-=1 !=1 7-=1 J=I
(при записи правой части мы воспользовались равенством arj = a]r). Ho, поскольку частоты кп и кт различны, из равенства (4.62) следует
2 Arn 2 CijrAjm = 0. (4.63)
7-=1 j=i
Последнее соотношение выражает свойство ортогональности любых двух п-й и т-й собственных форм.
Свойство ортогональности, выраженное соотношением (4.63), формулируется более компактно в случаях, когда а1Г = 0 при j Ф г. Именно в такой форме обычно получаются инерционные коэффициенты при использовании прямого способа составления дифференциальных уравнений. При этом соотношение (4.63) упрощается и принимает вид (вместо агг достаточно писать аг)
S
2 ArmArn = 0. (4.64)
1-і
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 91
Согласно (4.59) вместо (4.63) можно также записать
S S
2 Arn cJr-Ajm = 0. (4.65)
г—I j=l
Если Cjr = 0 при і Ф г, как это получается по обратному способу, то соотношение (4.65) упрощается:
2 CrArmArn = 0. (4.66)
T=I
Отметим, что любую конфигурацию системы можно разложить по собственным формам колебаний; это свойство окажется полезным при изучении вынужденных колебаний.
Пусть некоторая мгновенная конфигурация системы описывается совокупностью значений обобщенных координат Bu B2, ..., Bs; для этих значений можно записать
Bj = CliA1I + d2A}2 + ... + dsAls (/ = 1,2,..., s) (4.67)
и рассматривать (4.67) как систему уравнепий, определяющих коэффициенты линейного преобразования d\, d2, ..., ds. Для того чтобы найти эти коэффициенты, нет необходимости решать систему (4.67), удобнее воспользоваться свойством ортогональности собственных форм. Имея в виду случаи, для которых указанное свойство формулируется в виде (4.65), умножим каждую
строку системы (4.67) на соответствующее ее номеру / произведение CijAim (т — номер искомого коэффициента dm), а затем сложим все строки. Тогда в левой части об-
S
разуется сумма 2 BfljAjm, а в правой части — сумма
j=i
вида
SS S
(I^ ^ -\- d2 2 QjAjzAjm -j- . . . --f- ds CijAjsAjm.
j=і j=і j~=i
Согласно (4.65) среди этих членов отличен от нуля
только член dm 2 <IjAjm, и в результате мы получаем
j=i
компактное выражение
S
2 (IjB-Ajm
dm = Щ----------• (4.68)
2 - А
J=I
92
ГЛ I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пример 4.4. Найти собственные формы для системы, рассмотренной в примерах 4.1 и 4.2.
Для определения собственных форм образуем отношение A2'.A1 из первого уравнения, данного в примере 4.2 (стр. 86):
1
ml'
зШ‘
т р
IEJ
к?
Подставив сюда поочередно пайденные выше значения It2l и к2, получим
*21 ~ l4Ii^ 21' *22
12
21_ Зр2
Эти отношения характеризуют обе собственные формы (рис. 4.7, а, б). Как видно из рисунка, первая собственная форма характеризуется сравнительно малым углом поворота груза, а вторая форма — относительно небольшим прогибом копца.
Можно убедиться в ортогональности этих форм. Подставим в условие ортогопалъпости (4.64) at = яг, а2 = пі р2, а также найденные отношепия /12і/Л,і, A22IAt2. Тогда получим
mAllA12 -t mp A21A22 =
TnAnA1
Г 2 3 I 21 2L1+ р 2/(-3р2
— 0.
5. Роль начальных условий. Для
определения 2S постоянных, входящих в общее решение (4.45), используются значения обобщенных координат д3(0) и обобщенных скоростей дДО) в момент t = 0. Подставив эти значения в общее решение (4.45) и в соответствующие выражения для скоростей, получим систему уравнений относительно постоянных А і,- и а,-:
?Л°) = 2 Kji^nsinai,
І =1 S
cIi (0) = 2 KjiA^ki cos аі І—1
(/ = 1, 2, ..., s).
(4.G9)
Соотношения между амплитудами гармонических составляющих А и, А12, ..., Ль, входящих в закои изменения любой координаты д„ зависят от начальных условий.
S 4 СИСТЕМЫ С ТТЕСКОЛЬКІШЙ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
93
При произвольно заданных начальных условиях изменение любой обобщенной координаты будет происходить по полигармоническому закону, так что отношения между обобщенными координатами будут непрерывно изменяться во времепп. Ilo этой причине экспериментальная запись (виброграмма, осциллограмма) реального процесса свободных колебаний, как правило, не представляет собой синусоиду, характерную для процесса свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Однако при специальном выборе начальных условий можно добиться того, что движение будет описываться только какой-либо одной, например r-й, составляющей:
