Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
то по формуле (3.8) найдем к = 0,8472 У ^ A1 а по приближенной формуле к = У ^ А (ошибка составляет 18 %).
Способ прямой линеаризации. Способ основан на непосредственной (прямой) замене нелинейной характеристики F(q) некоторым эквивалентным липейным выражением. Так, при симметричной характеристике вместо F(q) принимается
F* (Q) = СЪ (3.13)
где с — коэффициент линеаризации, значение которого подбирается из следующих соображений. Уклонение за-
5*
68
ГЛ. I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
меняющей характеристики (3.13) от заменяемой характеристики F(q) зависит от координаты q (рис. 3.5):
r(q) = F(q)-cq.
В задачах о колебаниях, очевидно, более существенны уклонения г при больших значениях координаты q; поэтому в выражении интегрального уклонения естественно «усилить» роль разностей г при больших значениях координаты q. Примем за меру уклонения произведение
rq =[F{q)~ cq]q
и рассмотрим интегральное квадратическое уклонение
А
s=5 (г?)2
—А
которое, очевидно, зависит от выбора параметра с. Для миппмизации этого уклонения воспользуемся условием
§=0. (3.14)
из которого и может быть найдено минимизирующее значение с. После этого задачу можно считать, в сущности, решенной, так как она приведена к линейному уравнению. Итак, задача сводится ж минимизации интеграла
А
S= \ {[F{q)-cq]qfdq, (3.15)
— А
т. е. к определению минимизирующего значения с. Выполнив операции, указанные в (3.14) и (3.15), получим
А А
С = ZA6 I 5 J F (?) 3* dfI- (ЗЛ6)
— А О
Так, папример, при характеристике (3.7) находим
А
Г -Ajpge A7 = -Sp^.
О
§ 3 НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА
69
Соответственно для частоты получится к = 0,8452 А.
Погрешность этого результата составляет всего 0,23 %. Идею минимизации интегрального квадратического уклонения можно распространить и на случай несимметричных характеристик.
Метод гармонического баланса. Этот приближенный метод является одним из наиболее распространенных при решении мпогих нелинейных задач теории колебаний. Применительно к рассматриваемому здесь дифференциальному уравнению (3.1), когда F (q) = —F( — q), его простейший вариант состоит в следующем.
Как и выше, примем решение этиго уравнепия в виде (3.11) и подставим его в левую часть дифференциального уравнения (3.1). Второе слагаемое F [A sin(kt + а) ] является периодической функцией периода 2я/к, и его можно разложить в ряд Фурье. Сохранив в этом разложении один первый член, приближенно имеем
F [A sin (kt + а) ] = b\ (A) sin (kt + а), (3.17)
где bі — коэффициент Фурье, определяемый выражением
2Jt
= I F (A sin ?) sin г]) с?т]з, г]) — kt -J- а. (3.18) о
П одстаповка выражений (3.11) и (3.18) в уравиеиие
(3.1) приводит к соотношению
-aAk2 + bi(A)= 0,
из которого следует первое приближение для квадрата частоты:
к* = (3.19)
Пусть, например, функция F(q) определяется выражением (3.7). Тогда по формуле (3.18) находим
2Я
by = -і J рA3 sin3 ф sin i|) A|) = pA3,
70
ГЛ I СВОЕ OJIHbIF КОЛЕБАНИЯ
Т. Є.
к2 = 0,75 — А2, к = 0,8660 VА
а га
с ошибкой 2,2 %.
Метод медленно меняющихся амплитуд. Для того чтобы применить к рассматриваамой задачо изложенный выше метод медленно меняющихся амплитуд (см. стр. 50), нужно прежде всего выделить из заданной функции F(q) линейную часть cq (если функция F(q) чисто н е л и н е и н а я, т. е. не содержит линейного слагаемого, то метод в принципе неприменим) и представить дифференциальное уравнение (3.1) в виде (2.32), положив
ванной системы). Далее образуются выражения (2.42):
Рассматривая выражение (3.21), можно заметить, что под знаком интеграла перемножаются четная и нечетная функции угла г|з; в заданном промежутке интегрирования эти функции ортогональны, так что Ф(Л) = 0. Отсюда,
согласно первому уравнению (2.41), следует A = 0, или А = const — результат, который можно было предвидеть для рассматриваемой задачи о свободных колебаниях консервативной системы.
После того, как будет вычислено значение xF (4), по
второму выражению (2.41) образуется величина ф. Важно отметить, что эта величина постоянная, так что
ф = ф? + фо и аргумент в решении (2.34) припимает вид
(3.20)
(здесь ItI=Cja — квадрат собственной частоты липсаризо-
Ф(Л)--J
F (Л cos *ф)
а
о
2Jt
F (A cos ij))
а
] /fo^cosi]; cos IJjdiJ). (3.22)
о
г|) = kQt — ф = (ко — ф) t — ф0.
§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА
71
Таким образом, частота свободных колебаний заданной нелинейной системы определяется выражением
Пример 3.3. Сопоставить с точным значением значения частоты свободных колебаний системы с зазором, яайдеппые простейшим способом и способом прямой линеаризации (рис. 3.2, б). Характеристика системы описывается выражениями, данными в начале примера 3.2.
Ho простейшей формуле (3.12) находим
где feg - с/т.
Для вычисления по способу прямой линеаризации нужно воспользоваться формулой (3.16), разделив область интегрирования
при х > 0 на два участка. На первом участке (0 х ^ Л0) F(х) = = 0 и интегрирование дает нуль. Поэтому
