Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
для груза —
—с2(я2— Xi) - тх2. (б)
Полагая X1 = Aieu, х2 = А2еи, получаем однородную систему
(Cl + с2 + ЬХ)Аі —• C2A^ = 0; ¦—C2Ai “Ь (с2 -J- тХ2)Аг = 0.
Приравняв нулю определитель
C1 + с2 + ЪК — с
C9 +
= 0,
придем к характеристическому уравнению
mb№ 4“ ш (ci -J- с2) X2 4“ Ьс2Х -{- Cic2 — 0. (в)
К тому же результату можно было прийти, если исключить координату Xi из уравнений (а) и (б) и записать уравнения третьего порядка для х2:
mbx2 + m(ci + с2)X2 -f- Ъс2хг + CiC2I2 = 0. (г)
Соответственно порядку уравнения (в) рассматриваемую механическую систему можно назвать системой с І'/г степенями свободы (представление о нецелом числе степеней свободы было введено А. А. Андроновым и относится к вырожденным системам. В нашем примере достаточно было учесть массу пластинки 5, чтобы система дифференциальных уравнений имела четвертый порядок; такая механическая система обладает двумя степенями свободы).
Среди корней характеристического уравнения (в) по крайней мере один окажется вещественным отрицательным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим левую часть уравнения. При X = 0 она, очевидно, положительная, а при достаточно больших отрицательных значениях X она становится отрицательной. Следовательно, должен существовать корень Xi = —ai (ai > 0).
После того как этот корень пайдеп (для вычисления достаточно самой простой ЭВМ), нужно левую часть уравнения (в) разделить на разность X — Xi & решить полученное таким образом квадратное уравнение. При этом найдутся два остальных корня, в общем случае комплексных, вида X2,з = —«2 =Ь Ф («2 > 0).
Таким образом, движение груза описывается выражением
xI= Лпе~а1‘ + е~^ (-4Ia sin Pf + -4Is cos
содержащим три постоянные. Для их нахождения необходимо указать три начальных условия, определяющих Xi(0), ^2(O) и .T2(U) в пачальпый момент времени. (Отметим, что начальпое значение х\(0) независимо задать нельзя — опо определяется из соотношения (а).)
Глава II
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 5. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения
1. Основное уравнение при силовом возбуждении.
Рассмотренные в главе I механические системы характеризуются действием позиционных сил, а в некоторых случаях также диссипативных сил. Эти силы не только влияют на движение системы, но и сами управляются этим движением, поскольку они зависят от обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Как указывалось во введении, иную важную категорию образуют вынуждающие силы, т. е. силы внешнего происхождения, описываемые задаппымн функциями времени и не зависящие от движения системы. Колебания, вызываемые вынуждающими силами, пазываются вынужденными. Независимо от физической природы вынуждающих сил мы будем исходить из того, что каждая из них задана в виде некоторой явной функции времени:
где і = 1, 2, ..., п — порядковый номер материальной точки.
Если механическая система имеет одну степень свободы и приложенные к точкам системы внешние силы заданы в виде (5.1), то обобщенная вынуждающая сила определяется из выражения возможной работы
P1 = P4(I),
(5.1)
8А = J PiSri = J) Pi 9^bg
п п
(5.2)
1=1 І = 1
в виде
i=l
(5.3)
102
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Соответственно уравнение Лагранжа принимает вид (при отсутствии трения)
Я (|)-| + ?, = <?<'>• M
Подставляя сюда выражения (1.4) и (1.8) для кинети-
ческой и потенциальной энергии, приходим к дифференциальному уравнению задачи о вынужденных колебаниях
aq + cq = Q(t), (5.5)
которое будем записывать в виде
;q + k2q=m. (5.6)
Здесь через к2 = cja по-прежнему обозначен квадрат собственной частоты рассматриваемой системы.
Рассмотрим, например, действие горизонтальной силы P(t) на маятник (рис. 5.1, а). Примем за обобщенную
координату угол ср отклонения маятника от вертикали и обозначим через т массу маятника, а через I — его длину. Тогда при малых углах отклонения
г=т^ п = ?2-2, Q = P(I)I (5.7)
и уравнение вынужденных колебаний (5.6) принимает вид
? + = <5-8)
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
103
Иногда удобнее составлять дифференциальное уравнение вынужденных колебаний по описанным выше прямому или обратному способам. Пусть, например, в точке я = 7* балки приложена вынуждающая сила P(t) (рис. 5.1, б); будем считать, что массой балки можно пренебречь по сравнению с массой тп сосредоточенного груза, закрепленного на конце балки х — 1. Для составления дифференциального уравнения колебаний удобно воспользоваться обратным способом. Рассматривая балку под действием силы P(t) и силы инерции — mij, можем записать
у = P(t)8 (I, Z*) — тпуЬ (I, I),
где б {1,1%) и 8(1, I)—соответствующие коэффициенты влияния, определяемые методами теории сопротивления материалов,
<31— IJll /з
б (I, I#) = Qgj , б (I, Г) =
Таким образом, дифференциальное уравнение колебаний груза запишется в виде
„а3-, P (t) (3l]~ IJ I2
3 EJyjry 6 EJi '
Вынужденные колебания балки возникнут и в том случае, когда вертикальная сила не меняется по модулю (P = Const), но точка ее приложения движется вдоль балки. При этом абсцисса I#, а вместе с этим и коэффициент влияния б (1, 1%) становятся функциями времени, так что дифференциальное уравнение принимает вид (если 1% — vt):
