Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Li = -- Зъ)х>
L2 - - 3c0q (Ji - J3) ф, Ls = 0.
(5)
(4)
Подставляя (4), (5) в (1) - (3), найдем
JiX -f- COq (4 J! 3 Jg) x Jg Йд (ф -|- co0) - 0
7iФ 4* Зсооi- - /8)ф -]- 1/3Й3Х - 0,
J3 Й3 = О (й3 = const).
(6)
(7)
(8)
358
Динамика твердого тела
[Гл. 8
Если /]>/3, уравнения (6), (7) упрощаются, т. е. х + 4сооЛ: = 0, <р Ч"
Зсобф = 0.
Таким образом, ось симметрии колеблется около направления радиуса-вектора
центра масс с частотой ]/3(о0; ось также нутирует вблизи плоскости орбиты
с частотой 2ш0.
8.48. Вращательный момент, действующий па Землю со стороны Солнца,
обусловлен сплюснутостью Земли у полюсов. Поскольку эксцентриситет орбиты
Земли е=0,0167 весьма мал, то можно считать, что центр масс Земли
движется по окружности
радиуса г0 = 1,5-10н м с угловой скоростью со0 =- т (Мс-
масса Солнца). Используя уравнения (1) - (3) задачи 8.47, запишем
уравнение Эйлера
J1 (ш1 - со2й3)-г Jз (o.zQ3 - Зо>о (J-2 - J3) sin 8 cos 0 cosa <p, (1)
Л ((r)2 + (r)s"i) - = - 3"o (Jx - J3) sin 0 cos ф sin q>, (2)
J 3Q3 = 0. (3)
Из (3) находим Q3= (cp + wo)cos 0+фс^ const. В нулевом приближении ф = -
coo, 0=0. Поскольку суточная угловая скорость вращения Земли г^оЭ'ф, 0,
то П3л;фо и в (1), (2) можно пренебречь первыми слагаемыми. Тогда
/3 (ф + щ) -ф0 = Зыо (Jz - J3) cos 0 cos2 ф, (4)
J" 0 Фо = 3(00 (Л - J3) sin 0 sin ф cos ф. (5)
Усредняя (4), (5) по периоду 2я/"0, найдем
(ф) =-- - со0 -f- Аф, (0) = 0,
Дф = -3!--1~У3 cos 0.
2 'Фо J з
Для Земли угол между плоскостью эклиптики и осью симмет-
рии Земли равен 0^23°, ----- % 365. Следовательно,
/ з 300 (Оо
Дф =--------1--(о
80000 0
Различие между полученным периодом, равным 80 000 годам, и наблюдаемым,
равным 26000 годам, объясняется тем, что в расчете не учтен момент сил
притяжения Луны.
ГЛАВА 9
Уравнения Гамильтона
§ 1. Канонические уравнения. Скобки Пуассона
9.1. Поместим начало цилиндрической системы координат в вершине конуса,
а ось Oz направим вертикально вверх. Тогда лагранжиан материальной точки
2 [ sin4 а '
- mgap
(2а- угол раствора конуса). Отсюда найдем обобщенные импульсы
Рр = т .р. , РФ = тр2ф sina а
и функцию Гамильтона
,2
pl sin2 а р'
# = -*- fг та Р.
2т 2т р2
Затем получим уравнения Гамильтона . _ Рр sin2 а . рф • р;
, ф = -*r, рр = -V - mga, Рч> = °-т тр2 /яр"
9.2. Положение точки на расширяющейся сферической поверхности зададим
сферическими координатами 0, ср (начало координат помещено в центр сферы,
ось Oz направлена вниз по вертикали). Тогда кинетическая энергия точки
Т = HL [г2 (*) + г2 (0 02 - r% (t) ф2 sin2 0]
имеет структуру Т = Г<2>+ TW + Г<°>,
7(2) JL Г1 у) [ё2 -L ф2sin2 0]( 7(1) = 0? 7(0) _ UL (f)f
а потенциальная энергия
U = (/(0) = - mgr (0 cos 0.
360
Уравнения Гамильтона
[Гл 9
Обобщенные импульсы, как функции обобщенных координат и скоростей,
соответственно равны
ре = тг2 (/) 0, р9 - /пг2 (0 <psin2 0.
Далее, используя определение функции Гамильтона
найдем
Н --------------(pi Ч--ттг1-----~ тг2 (0 - т8г (0 008 0-
2тг*{() I е sin(r)6 J 2 W V
Отсюда получаем уравнения Гамильтона
Pq Р<р
тг2 (0 ' ^ тг* (0 sin* 0 о2 cos0
ре =-----2-----------mcr (t) sin 0, рф = 0.
' m^(Osm30 e w (tm)
9.3. Согласно условию имеем
ro тв* , e .
eg - -|----Av - ecp,
2 с
где
A = i-[Hrl.
Вводя обобщенный импульс
я = - mv + - А, (1)
ov с
найдем гамильтониан заряда
/"__?_ AV + вФ. (2)
dv 2m V n
Затем получим уравнения движения
• ^ __ Ш_ = е_
Зг 2тс
Н, я -А
С
•*Уф. (3)
("-ГА)- <4>
д к т
Из уравнений (3), (4), учитывая (1), можно найти
Канонические уравнения Скобки Пуассона
361
Положим, далее, ф=0 и покажем, что проекция обобщенного момента импульса
ц=[гл:] на направление напряженности поля сохраняется. Действительно,
дифференцируя
Далее, умножая обе части (5) векторно на Н, найдем интеграл
Этот интеграл означает постоянство составляющей радиуса-вектора центра
орбиты заряда в плоскости, перпендикулярной Н. Этот интеграл является
аналогом интеграла А при движении заряда в кулоновом поле (см. задачу
0.00). Действительно, умножая обе части (6) скалярно на г, получим
уравнение проекции траектории заряда
на плоскость перпендикулярную Н (в полярных координатах).
9.4. Запишем соотношения между проекциями (c)ь (c)2, (c)з угловой скорости
тела на главные оси инерции и углами Эйлера:
и учитывая (3), (4), найдем, что цН = const. Из (3) и (4) следует еще
один интеграл
я =я - [Нг] = fftv + -А.
0 2с с
(5)
(6)
(c)1 = Ф sla фв1и 0 + 0 cos ф,
(c)2 = ф cos ф sin 0 - 0 sin ф, (c)8 = Ф cos 0 + ф.
Так как кинетическая энергия
Т -- (/х (c)J + J2 + Js (c)|),
где /1, h, h - главные моменты инерции, то
= J1 (c)i_ siti ф siti 0 + соа cos ф sin 0 + /3(c)3cos0.
13 Зак. 4
362
Уравнения Гамильтона
[Гл. 9
Подобным образом найдем
р2 = о"! cos ife -/г(r)г sin ф,
Рз " J3 (r)3-
Следовательно,
¦Л. "1 = Pl smt + ра cos Ф - Рз ctg 6 sla Ф;
sm0
J% % =¦ p1 cos^ - p2 sin гЬ - p3 ctg 0cos ф; sin 0
¦^3 = Рз-
Используя эти выражения, нетрудно получить функцию Гамильтона:
я =.-!(_* ftctgeV (2Ё!^+"*А_\ +
