Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
скорость равна [юг], где г - o(cosa, sin се, 0), т. е. равна
а ( - со sin 0sin a, cosinOcosa, o^sina). (2)
С другой стороны, ось конуса является фиксированной относительно системы
отсчета Ogi|2|3, угловая скорость которой имеет компоненты
(-tocos(c), -0, со sin 0).
Поэтому скорость рассматриваемой точки оси конуса также равна [Qr] = a(-ю
sin 0 cos a, со sin 0 cos a, - со cos 0 sin a + 0cosa). (3) Сравнивая (2)
и (3), заключаем, что
о)! ~-0ctga - со cos 0. (4)
Таким образом, получим угловую скорость конуса "о -(0ctga - со cos 0, 0,
со sin 0).
Теперь повернем систему координат 0| 1^з вокруг оси 0?3 на угол а, так
чтобы ось Oh совпала с осью конуса. Тогда угловая скорость конуса в
проекциях па новые оси примет вид
ft) = (o)1cosa, -Ш! sin a, cosinO).
Новые оси являются главными осями инерции конуса для любого момента
времени. Главные моменты инерции конуса соответственно равны
-^-ml2 sin2 a, --ml2 (4 - 3sin2a), -^-ml2( 4 - 3sin2a).
10 20 20 v '
Следовательно, кинетическая энергия конуса
Т = • - [(1 + 5cos2а) со? sin2 а + (4 - 3sin2a) o>2siii20],
Общий случай движения
345
а его потенциальная энергия
и =
3
mgl сos a-cos 0.
Таким образом, получим лагранжиан конуса
3тР 40
L =--------- (1 + 5 cosa а) (0 etg а - ш cos 0)2 sin2 а +
40
+ (4 - 3sln2a)(flasin20 + geos2 а cos 0j , Отсюда ясно, что обобщенная
энергия сохраняется, т. е.
^(1 + 5 cos2 a) sin2 а (О2 etg2 а- со2cos2 0) -
Я
ЭтР 40
(4 - 3 sin2 а) ш2 sin2 0
cos2 а-cos 0
-Я0.
Используя начальные условия 0(0) = -, 0(0) = 0, найдем, что
Я0 = ша (3 sin2 а - 4).
Поэтому интеграл обобщенной энергии можно переписать в виде (02 etg2 а -
ш2 cos2 0) (1 + 5 cos2 a) sin2 а =
= 1°(g/Оcos2а- cos 0 -ш2 (4 - 3sin2а) cos2 0
или
5 cos2 а - 1 \ Г 10g
== (В2 COS 0
'а- 1 \
!сИ 1 )
5 cos2 а 4 1 j I2 to2 (5 cos2 а - 1) Полагая здесь 0 = 0, получим
окончательно
¦cos 0
COS0!
10 g
to2 (5 cos2 а- 1)
8.40. Поместим начало О неподвижной системы координат в. точку
закрепления волчка, а ось z направим по вертикали вверх. Начало системы
5', жестко скрепленной с волчком, совместим с точкой О, а оси направим по
главным осям инерции. Тогда
L = ~ (02 + ш2 sin2 0) + --- (ijj + са cos 0)2 - mgl cos 0.
346
Динамика твердого тела
[Гл 8
Отсюда найдем
J3 (ф + cocos 0) = J Зсо30,
(02 + tt"2 sln2 0) + mgl cos 0 = E 3o>30. (1)
Затем из (1), (2) получим
02 = Л (?'-(Уец),
J 1
где
E' - E i- Узсвщ, Uai - ~~~ sln3 6 "b cos 0-
Таким образом, находим закон движения 0(0 в виде
М -tt.
J
8 41. Поместим начало О неподвижной системы координат в точку закрепления
волчка, а ось OZ направим по вертикали вверх. Начало О' подвижной
системы совместим с О, а ее оси направим
по главным осям инерции волчка. Тогда, выбирая в качестве не-
зависимых координат эйлеровы углы, найдем лагранжиан
? = -у- (02 + ф2 Sin2 0) + ~ Сф + ф COS 0)2 - mgl COS 0,
где /3 - главный момент инерции относительно оси материальной симметрии,
a Jl=-JT ~Ьт12.
Отсюда
рф = = Jjcpsin(r) 0 -f Js(ф + фcos0) cos 0 = (1)
дф
dLd * *
РФ = - = /3(ф + ФСО8 0) = /30)3 = ^, (2)
аф
- (02 Т- ф2 sin2 0) + mgl cos 0 - Е0 - - ю2 - Е0. (3)
2 2
Из (1) -(2) найдем
Ь - Oil л / л\
ф==-------------- и - cos 0, (4)
1 Ф
Общий случай движения
347
J1 а ¦
Ф = -г Ф", (5)
а из (3), (4) получим
"*=/("), (6)
где / (ы) = (1 - и2) (а - $и) - (b - auf,
2?'о о __ 2mgl
а
Исследование функции f{u) показывает, что она обращается в нуль в точках
иь и2, из, причем
- 1 < их < Н2 < 1 < и3.
Запишем (6) в виде
и* = Р (и - щ) (и - и2) (и - иэ) (7)
и преобразуем это выражение, вводя обозначения
Л§(Из-"1).
Г на - H f u3 - u2 2
Поскольку
"
w ----- ¦
2Y{u- U!){Ui - ut)
из (7) найдем
w2 = p2 (1 - Ш2) (1 - k2W2).
Решением этого уравнения является эллиптический синус w = snpt.
Следовательно,
и = иг г (^г - ui) sn2pt,
а период движения по углу 0
Т = 1Ж(к) _ 4 Щк)
Р /р {ц3 - щ)
где З'Г-полный эллиптический интеграл.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.
1. Пусть один из корней иг = м0 = -(этот случай соответст-вует тем
начальным условиям, которые часто задаются в теории
348
Динамика твердого тела
[Гл 8
волчка: 0(0) = 0о, 0(0) =0, <p(0)=0, i(0) =ifo)- Найдем вначале границы
движения по углу 0. В рассматриваемом случае uo=cos0o
f(u) = (1 - м2)(а -ры) -аг(Ио -ы)2. (8)
Поскольку f(u2 = u0) =0, то а = рио и вместо (8) получим
/ (ц) = (1 - и2) р (ы0 - и) - а% (и0 - и)\
Полагая f (а) =0, находим корни этого уравнения:
= к - J/А,2 - 2Яы0+ 1, и^ = и0,
и3 = Х+ VW - 2 Ku.Q "Ь 1 i
здесь
^ __ я(r) Ja
2р 4 Ji mgl
характеризует отношение кинетической энергии вращения к потенциальной.
Если Я>>1, то
и^щ i-(l-Ио), к3~2А,.
Следовательно, амплитуда нутаций ий-щ будет очень мала.
О
Обозначая х = и0 - и, х± - и0 - их =• sin3 0О, получим
а2
f (") л: х [Р (1 - По) - а2*] и соответствующее (б) уравнение
х2 = х [Р (1 - ио) - аН\.
Его решением является
ж=-^-(1-cosat), (9)
где а = - ¦фо - угловая частота нутаций. Затем из (4) найдем Ji
угловую скорость прецессии
