Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ /e2 неизвестных функций 2, si) и кр (р=*
d
dt
= 1, 2...............ft,).
9.42. Лагранжиан заряда
Я = т+ - Av - еф,
с
а его обобщенный импульс
§* = mv + - А.
с
Поскольку обобщенная энергия сохраняется (// = Я0),
X = 2Г + -*- Ау-Я0;
с
и
и
Таким образом, укороченное действие
и
(2)
и
Канонические преобразования. Вариационные принципы
385
а принцип Мопертюи принимает вид 6W-0. При Н=Н0 и полных вариациях
8qn=8qi2=0.
Принцип (2) можно представить в другой форме, исключив элемент времени
dt. Действительно, поскольку
2Tdt - mvdr,
(2) сводится к
г>
8 \ oPdr = О,
где - обобщенный импульс.
Можно также перейти к независимой переменной s - длине дуги траектории. В
самом деле, учитывая, что полная энергия со-
ds
храняется, т. е. ff=E=T+eq>=E0, а также, что о = -г-, найдем
at
то% dt - mods = V2tn (?0 - eq>) ds
и напишем принцип (2) в форме Якоби
г ,
б j V2m (Е0 - etp) ds + - Adr
0. (3)
Теперь получим из (3) дифференциальное уравнение траектории. Замечая, что
ds = l/(dr)2 = К dx:,d^, а следовательно,
6ds=dx^dxL^JxLd6xtt ds ds
изменим порядок дифференцирования и варьирования. Тогда найдем
8,
Г (8x(ds + F dbxt -f - Ad6xt -f - 8Atdx,) = 0,
J \ oxi ds с с /
9%
где F = V 2m (E0- еф).
Отсюда, интегрируя второй и третий члены по частям, получим
386
Уравнения Гамильтона
[Гл 9
Здесь первая скобка равна нулю, так как интеграл варьируется при заданных
значениях координат на пределах. Далее учтем, что
dAi
б Atdxt - dAt 6х(
dAi
дхк dAk <И
6xkdxt
dxt
и найдем
S.
I
OF
dxi
d / p dxt
ds
ds
+
t-f(
dxk
дАк
dxk dxkbx(,
dxkbxt =
dxt dxk
--^ J dsbx, = 0.
Ввиду произвольности 6xi отсюда следуют уравнения
d
ds
dF
dAk
dAi \ dxk
dx[ с \ dxt dxk j ds Упростим форму этих уравнений, поскольку H = rotA,
т. е.
~ 8а
dAk dAt
dxi
dxk
и, следовательно,
&aikHvAxk - EikaHc/AXj, -¦ ' H^dXa) - [dr, HJ;.
Таким образом, окончательно получим уравнение траектории
- If-)
ds \ ds /
dF е
¦рГ + Т
- я
ds
(4)
Если в качестве независимой переменной выбрать некоторый параметр и, то
действие приобретет вид
(5)
Ui
где
р = 1/2т (Е0 ~ еф)
ds
du
Варьирование действия (5) приводит к уравнению траектории в форме
уравнения Эйлера - Лагранжа
d dFx dFi
§ 3]_________Канонические преобразования. Вариационные принципы
387
с функцией
л = |1+-?-Л-^
с du
В геометрической оптике аналогом принципа Якоби является принцип Ферми
Si
где п ^r, - коэффициент преломления среды.
9.43. Согласно уравнению (4) задачи 9.42 уравнение траектории
определяется уравнением
J-(f Jl.) = JL
ds \ ds } dr
где F = 1/2тЯ0. Следовательно, = 0, т. e.
asa
г = as + b.
Поскольку r(si)=rb r(s2)=r2, находим
r = JXrL?i_(Sl_s) +rv
S3 - Si
Таким образом, полное действие
S = | V^mEgds - E0 (t% - fj) = V2тЕц [ r2 - rx | - E" (tz - ^).
9.44. Время движения между точками (а, у (а)) и (b, у(Ь))
Г_Ь, Vi I- у'2 dx
Г у 1 1- у* dx (1)
j У 2g (у (а) - У)
а
зависит от вида функции у(х). Каждой функции у(х) соответствует
определенное значение т; тем самым (1) является функционалом, а задача
состоит в нахождении экстремума функционала.
Обозначая
р--------±у'2---------------------------- (2)
/ Ч (г/(а) - у)
388
Уравнения Гамильтона
{Гл 9
найдем, как меняется значение
t = у')0х (3)
а
при малом изменении функции У~+У/=:У+&У, причем у(а)=уа, У(Ь)=Уъ, а
L - 0> Щь = 0- (4)
Изменение бт можно записать в виде
* ь
бт = ^F(y + 6y,y' +&y')dx- ^Р(У> y')dx -
a a
~§^8ydx + l W6y'dx+ ' " (5)
a a
Поскольку б у и б у' не являются независимыми, то, интегрируя
второй член в (5) по частям и учитывая (4), получим
бт = Г б ydx + б у Ь - (* б ydx =
У ду ду а J dx ду'
а а
<6>
а
так как 6y'=(6t/)' Приравнивая (6) нулю, найдем условие экстремума
функционала
•Z-i-Я-О. (7)
ду dx ду w
а умножая (7) на у', получим (так как F не зависит явно от х)
F-fry'^C.
dy
Наконец, подставляя сюда (2), найдем
1
Vl+t^V2gU,a-y)
Теперь с помощью подстановки
= С. (8)
Уа-у = 1{1-сюи), 1 = -^- (9)
§ 3]_________Канонические преобразования Вариационные
принципы___________389
из (8) получим
у'2=---------------1= . (10)
1-cos и (1 - cos и)1
Из (9) и (10) следует
dy du __ sum
du dx 1 - cos и '
тем самым
= ±1(1 - COS u),
du
x- ± I (u - sin u) + Ci- (11)
Таким образом, искомой кривой является циклоида, которая определена здесь
в параметрической форме соотношениями (11) и (9).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков, изд. 2. М.,
Изд-во МГУ, 1974.
2. Голдстейн Г. Классическая механика, изд. 2, перевод с анг. М.,
"Наука", 1975.
3. JI а н д а у Л. Д., Л н ф ш и ц Е. М. Механика, изд. 3. М., "Наука",
1973.
4. К о т к и н Г. Л" С е р б о В. Г. Сборник задач по классической
механике. М., "Наука", 1969.
5. Т а м м И. Е. Основы теории электричества, нзд. 9. М., "Наука", 1976.
6. АнкундиновВ. А., Кельм ан С. М., Сысоева Л. Г. ЖТФ, 34, 23, 1964.
7. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е, М. Теория поля, изд. 6. М., "Наука",
1973.
8. Г р а д ш т е й и И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
