Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
сферического маятника.
5.45. Шарику сообщают скорость v0, горизонтально направленную вдоль
касательной к внутренней поверхности гладкой чаши - полусферы радиуса а.
Найти такое соотношение начального положения и скорости шарика, при
котором шарик в момент достижения края чаши лишь касается его.
5.46. Точка движется в силовом поле, ее потенциальная энергия равна: a)
U=U(x), 6)U= UlV** -г У2), в) V - U {V*2 +?, г), г) U^U{Vx*+y2+z*).
Написать лагранжиан, уравнения Лагранжа и первые интегралы движения
материальной точки.
5.47. Написать функцию Лагранжа для заряда, налетающего на заземленную
металлическую сферу радиуса R [10, § 3].
5.48. На гладкой горизонтальной плоскости лежит нерастяжимая с
пренебрежимой массой нить, к концам которой прикреплены шарики с массами
"ч и т2. Нить образует прямой угол, в вершине которого огибает тонкий
гладкий Стержень, скрепленный с плоскостью. Первый и второй шарики
находятся соответственно на расстояниях и h от вершины угла. В начальный
момент времени первому шарику сообщили скорость у0, перпендикулярную
нити. Чему равна скорость второго шарика в момент времени, когда он
достигнет стержня? За какое время он достигнет стержня? Найти уравнение
траектории первого шарика.
5.49. В горизонтально расположенной плоскости сделано маленькое
отверстие, через которое продета нить длины I. На концах нити закреплены
точки с массами т.\ и тг, причем точка массы mi лежит на плоскости. Найтн
лагранжиан системы и первые интегралы движения.
5.50. Материальные точки одинаковой массы находятся в вершинах ромба,
сторонами которого является шарнирно соединенные стержни пренебрежимо
малой массы. Точки притягиваются к неподвижному центру с силами,
пропорциональными их расстояниям до центра. Полагая, что силовой центр и
материальные точки лежат в одной плоскости, определить закон движения
системы.
5.51. Написать лагранжиан двух свободных материальных точек, соединенных
пружиной (подчиненной закону Гука) и движущихся в однородном поле
тяжести.
5.52. Два заряда движутся в однородном электрическом поле. Записать
функцию Лагранжа системы.
§ 3. Движение под действием обобщенно-потенциальных сил
5.53. Шарик массы т, перемещающийся по гладкому стержню,
2*
36
Уравнения Лагранжа
(Гл 5
соединен пружиной пренебрежимо малой массы с некоторой точкой этого
стержня. Предполагая, что стержень движется с постоянным ускорением а,
направленным параллельно его оси, найти закон движения шарика.
5.54. Материальная точка движется по гладкой прямой, которая вращается с
постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через
прямую, и наклонена к ней под углом а. Найти лагранжиан точки и указать
интеграл движения.
5.55. Точка движется по гладкой вертикальной плоскости, вращающейся
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (ось лежит в
рассматриваемой вертикальной плоскости). Написать лагранжиан точки.
5.56. Шарик движется по гладкой окружности радиуса а, вращающейся с
постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, совпадающей с
диаметром окружности. Указать интеграл движения и найти закон движения
шарика.
5.57. Материальная точка движется по гладкой окружности радиуса а,
которая вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей через одну из точек окружности, с постоянной угловой скоростью
со. Найти первые интегралы движения и уравнение Лагранжа для независимой
координаты.
5.58. В системе отсчета, жестко связанной с Землей, в сферических
координатах найти лагранжиан частицы, которая движется под действием
тяготения Земли. Найти закон движения частицы в квадратурах.
5.59. Записать функцию Лагранжа для заряда, движущегося в однородных
постоянных магнитном и электрическом полях.
5.60. Заряд движется в однородном магнитном поле. Найти функцию Лагранжа
и первые интегралы движения в цилиндрических координатах.
5.61. Найти функцию Лагранжа и первые интегралы для электрона,
движущегося в цилиндрическом магнетроне. Так называется прибор,
представляющий собой два коаксиальных цилиндра с радиусами г! и r2
(г2>гi) и потенциалами fl>i п Ф2 соответственно; цилиндры помещены в
магнитное поле; напряженность поля Н параллельна оси цилиндров.
5.62. Найти функцию Лагранжа и уравнение движения заряда в поле
магнитного диполя.
5.63. Найти функцию Лагранжа и уравнение движения заряда в поле
магнитного монополя.
5.64. Найти уравнения Лагранжа для частицы, которая движется в поле
магнитного диполя, вращающегося с угловой скоростью О) [11].
5.65. Электрон движется в переменном неоднородном аксиально-симметричном
магнитном поле, вектор-потенциал которого
Обобщенно-потенциальные силы
37
Р
Др = ~ j ря(р- 2)Ф; А" = Аг - о.
о
Какому условию должно удовлетворять поле, чтобы электрон двигался по
окружности данного радиуса г0?
5.66. Тонкая магнитная линза образована полем, определен-
^ р
ным вектором-потенциалом Av = -Jp#(P, z)dp; Д" = А, = 0;
Р о
причем Я(р, z) отлично от нуля в области Zi<z<z2. Из точки (0, 0, Zo<Zi)
