Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
начальная скорость равна нулю. На какой высоте точка оторвется от
параболы?
5.3. Точка движется по гладкому неподвижному эллипсоиду с полуосями а, Ь,
с под действием силы F=-хг с центром в центре эллипсоида. Найти реакцию
связи как функцию положения и скорости.
5.4. Шарик движется в однородном поле тяжести по гладкой кривой у=у(х),
лежащей в вертикальной плоскости. В начальный момент времени х(0)=а,
"(0)=0. Через какой промежуток времени х шарик будет находиться в точке с
координатой Ь?
5.5. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкому круговому
конусу, ось симметрии которого расположена вертикально. Найти траекторию
точки и реакцию связи.
5.6. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкому цилиндру
радиуса R, ось которого образует угол ос с вертикалью. Найти реакцию
связи как функцию положения точки (в цилиндрических и декартовых
координатах).
5.7. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкой сфере радиуса а.
Найти реакцию сферы как функцию координат и скорости.
5 8. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкой сфере радиуса а.
Найти закон движения точки в цилиндрических и сферических координатах
5.9. На гладкую неподвижную кривую
х - a (cos <р + ф sla <р);
# = a(sln<p - <pcostp) (ф>0)
(эвольвента окружности) нанизано небольшое колечко массы т. Вычислить
реакцию связи как функцию положения на кривой, считая ось Оу направленной
вертикально вверх.
30
Уравнения Лагранжа
{Гл. 5
5.10. В однородном поле тяжести по гладкой лемнискате
г2=2а2э1п2ф(0^ф^л;/2) с осью симметрии, составляющей угол п/4 с
вертикалью, скользит точка массы т. В начале координат (рис. 5.10)
скорость точки равна нулю. Определить, как изменяется со временем реакция
связи.
5.11. Точка массы т движется под действием силы тяжести по гладкой
циклоиде
х = а (ф - sin ф); у - а (1 -cos ф)
с осью у, направленной вверх по вертикали. Найти закон движения точки и
реакцию связи как функции параметра ф.
5.12. Шарик массы т движется по гладкой плоскости, вращающейся с
постоянной угловой скоростью вокруг горизонтальной оси. По какому закону
меняется со временем реакция связи?
5.13. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкой окружности
радиуса а, вращающейся с постоянной угловой скоростью в горизонтальной
плоскости вокруг вертикальной оси, которая проходит через одну из точек
окружности. Найти закон движения точки и реакцию окружности.
5.14. Гладкая недеформируемая кривая - лемниската Бернулли г2=2а2соз2ф -
вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг одной из осей
симметрии, направленной по вертикали (рис. 5.14). По кривой может
двигаться шарик массы т. Найти реакцию связи как функцию положения шарика
на кривой.
5.15. Бусинка находится в наинизшей точке вертикально расположенной
неподвижной шероховатой окружности радиуса а. Какую минимальную скорость
надо сообщить бусинке, чтобы она достигла горизонтального диаметра
окружности? Коэффициент трения равен к.
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
31
5.16. Двигаясь по горизонтально расположенной шероховатой окружности
материальная точка проходит путь I до полной остановки. Какая начальная
кинетическая энергия была сообщена точке? Найти реакцию связи как функцию
положения точки.
Рис. 5.14
5.17. Материальная точка перемещается по наклонной неподвижной
шероховатой плоскости, составляющей угол а с горизонтальной плоскостью
(рис. 5.17). Коэффициент трения равен k. Найти закон движения точки и
реакцию связи.
5.18. Однородная цепочка длины I перекинута через верхнюю горизонтальную
грань неподвижной призмы, сечение которой является трапецией с острыми
углами а и Р при горизонтальном нижнем основании (рис. 5.18). Каково
положение
равновесия цепочки на призме с гладкими гранями, если а длина ее верхней
грани?
5.19. Материальная точка массы т находится на поверхности гладкого конуса
Рис. 5.18
* f 51
1- +у
4
-z2 = 0
с вертикальной осью. Точка отталкивается от вершины конуса с силой,
пропорциональной расстоянию от вершины конуса с коэффициентом
пропорциональности и. Найти положения равновесия материальной точки.
5.20. Материальные точки с массами т/2, т, т попарно взан-
32
Уравнения Лагранжа
{Гл 5
подействуют между собой с силами отталкивания, пропорциональными
произведению масс и расстояниям друг от друга. Все три точки находятся на
гладкой горизонтальной окружности радиуса а. Найти положения равновесия
системы.
5.21 Материальная точка массы т может перемещаться по поверхности
гладкого эллипсоида
4 + -fr + -x = 1 (а>ь>°у>
а(r) Ь2 с*
эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью <а вокруг вертикальной
оси Ог. Найти положения равновесия материальной точки относительно
эллипсоида.
5.22. В гладкой неподвижной полусфере с вертикально расположенной осью
симметрии покоится тонкий однородный стержень массы т. Какая часть
стержня находится вне полусферы, если радиус сферы г, а длина стержня
t>2r?
§ 2. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и законы сохранения
