Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 68.
когда а > ас, то расход энергии превысит приток и амплитуда колебаний, уменьшаясь, будет стремиться к ас. Итак, получаются устойчивые автоколебания.
Аналогичные рассуждения применительно ко второму случаю приводят к выводу, что здесь имеет место жесткое возбуждение колебаний; при 0 < а < Ci1, расход энергии превышает приток и система стремится к состоянию покоя; при Ci1 < а < а2 расход превышает приток: колебания нарастают, но только до Ci = Ci2, так как при а > а2 расход снова превышает приток и амплитуда уменьшается. Таким
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
141
образом, автоколебания с амплитудой Ct1 оказываются неустойчивыми, а с амплитудой сс2 — устойчивыми.
Поскольку автоколебательный процесс соответствует периодическому решению дифференциального уравнения движения, он должен отображаться на фазовой плоскости замкнутой интегральной кривой, охватывающей положение равновесия. Такая кривая получила название предельного цикла. Существование предельных циклов было обнаружено французским ученым Анри Пуанкаре, а на их связь с автоколебаниями было указано академиком А. А. Андроновым. Так как интегральные кривые, иначе говоря, фазовые траектории, не могут пересекаться, то фазовые траектории, не являющиеся предельными циклами, должны представляться какими-то кривыми, асимптотически приближающимися к предельным циклам или с них сходящими. На рис. 69 представлены
фазовые диаграммы движения для двух случаев, соответствующих рис. 68. Именно, на рис. 69, а имеем неустойчивую особую точку — фокус, из которой исходят расходящиеся спирали, приближающиеся изнутри к предельному циклу С. С другой стороны, при достаточном удалении изображающей точки от центра, она будет двигаться по одной из спиралей,
Рис. 69.
142
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
наматывающихся на предельный цикл снаружи. Таким образом, здесь имеется один единственный, и притом устойчивый, предельный цикл.
Обратимся к рис. 69,6, где имеются два предельных цикла C1 и C2. Поскольку прочие фазовые траектории представляют собой спирали, сматывающиеся с цикла C1 и наматывающиеся на цикл C2, то мы можем сказать, что О есть устойчивая особая точка — фокус, C1 — неустойчивый предельный цикл, C2 — устойчивый предельный цикл. Колебательный процесс, соответствующий циклу C1, физически не существует: система либо приходит в состояние покоя, либо увеличивает свои размахи так, чтобы установились колебания, соответствующие циклу C2. Здесь мы имеем пример жесткого возбуждения автоколебаний: необходимо для установления колебаний «забросить» изображающую точку за цикл C1. Если же последний, стягиваясь к точке О, исчезает, получаем предыдущий случай мягкого возбуждения автоколебаний, так как в этом случае достаточно изображающую точку сколь угодно мало отклонить из точки О, чтобы установились колебания, соответствующие циклу C2.
Ниже рассматриваются два аналитических метода исследования автоколебаний. Первый из них, называемый методом осреднения, который ведет свое начало от голландского физика и математика Б. Ван-дер-Поля и получил строгое обоснование и современную форму в трудах советских ученых Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси и А. А. Андронова. Кроме того, весьма эффективный, так называемый асимптотический метод, разработанный Н. М. Крыловым и
Н. Н. Боголюбовым, в приближении первого порядка оказывается также совпадающим с методом осреднения.
Другой метод, известный под названием метода малого параметра, был разработан А. Пуанкаре применительно к проблемам небесной механики и получил дальнейшее развитие в применении к нелинейным колебаниям, в особенности к автоколебаниям в работах А. А. Андронова и Б. В. Булгакова. Указанные методы применяются в случаях так называемых квазилинейных систем, или систем томсоное-ского типа, т. е. мало отличающихся от линейных. Системы с резко выраженной нелинейностью порождают так называемые релаксационные колебания, предельной формой которых являются разрывные колебания. График этих последних
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
143
выражается пилообразной кривой. Таковы, например, колебания струны в музыкальном смычковом инструменте. Разрывные колебания с математической стороны характеризуются тем, что в различных интервалах они описываются различными дифференциальными уравнениями, решение которых приходится «сшивать» или «припасовывать» подобно тому, как это делалось в случае свободных колебаний с сухим трением. На фазовой диаграмме предельный цикл также оказывается состоящим из отдельных кусков. Исследование релаксационных автоколебаний будет в дальнейшем показано на двух примерах.
Автоколебания возникают в системе тогда, когда она переходит через границу области устойчивости. Правда, может случиться, что при этом переходе система вообще пойдет в «разнос», но могут установиться и автоколебания.
Вопрос решается исследованием нелинейных членов уравнения. Поясним сказанное примером из области электрических колебаний.
Имеем электрический колебательный контур (рис. 70), связанный с
электронной лампой-—триодом. Даны постоянные сосредоточенные параметры системы: L-—самоиндукция, R— сопротивление, С — емкость, M—взаимоиндукция, знак которой определяется направлением витков в соленоидах. На рисунке даны обозначения величин: і — ток в контуре;
