Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
138 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
....... ..................................................
приложении к линейным системам задача отыскания закона движения при поступлении энергии оказывается усложненной не в принципиальном, а в чисто практическом отношении. Выше был дан метод решения такой задачи (см. § 8 гл. II). Однако поглощение энергии системой из какого-то внешнего источника может иметь место и при отсутствии колебательных свойств этого последнего. Именно, парциальный отбор энергии может обусловливаться нелинейной структурой системы. Иначе говоря, автономная колебательная система, получая энергию из внешнего источника, сама управляет поступлением энергии. Такое состояние системы, при котором она способна при некоторых начальных отклонениях начать отбирать энергию для своего последующего движения, называется самовозбуждением, а ее колебания, устанавливающиеся при балансе поступающей и рассеиваемой энергии, называются автоколебаниями. Система, совершающая автоколебания, называется автоколебательной системой.
Автоколебательные системы чрезвычайно распространены. Таковыми, например, являются смычковые музыкальные инструменты. При движении смычка в одном направлении, казалось, он должен был бы вызвать монотонное воздействие на струну; однако упругие свойства этой последней и изменение силы трения между смычком и струной порождают автоколебания. Примитивно процесс можно описать так. За счет силы трения смычок увлекает струну в сторону своего движения. Возрастающая сила упругости приводит при некотором отклонении струны к ее срыву CO смычка и к движению в обратном направлении. Заметим, что при этом происходит уменьшение силы трения, которая, даже в предположении ее независимости от скорости, при движении меньше, чем при покое. После наибольшего отклонения струны она начинает двигаться снова в сторону смычка, который в какой-то момент времени опять захватывает ее, и процесс повторяется. Аналогичные явления происходят в тормозных колодках, которые порождают своеобразный скрип, при снятии стружки режущим инструментом, когда автоколебания обусловливают волнистость стружки. Автоколебательной системой является ламповый генератор, а также часы. Между прочим, в часах с маятником отчетливо наблюдается такое явление: для того, чтобы часы «пошли», необходимо дать маятнику некоторое чинимальное отклонение для преодоления сопротивлений;
автоколебательные системы
139
после этого амплитуда колебаний устанавливается сама собою. Такое возбуждение, когда существует порог начального отклонения для порождения автоколебаний, называется жестким, в отличие от мягкого, когда сколь угодно малое начальное отклонение порождает автоколебания. В часах маятник или баланс отбирает порциями энергию от гирь или от пружины для поддержания колебательного процесса.
Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и определяется исключительно параметрами системы. Ранее мы видели, что в автономной линейной колебательной системе возможен периодический процесс лишь в случае ее консервативности; при этом амплитуда колебаний определяется начальными условиями. Таким образом, автоколебательные процессы присущи только нелинейным системам.
Для большей наглядности сказанного можно привести энергетические соображения. В линейной автономной системе рассеяние или поглощение энергии обусловливается членом bq в уравнении (2.37), где при #>0 имеем убыль энергии, а при #< 0— ее приток. Вне зависимости от знака Ь
^a следовательно, и п — j закон движения выражается уравнением (2.45)
q = ae~nt sin (vt-)- p).
Элементарное рассеяние или поглощение энергии (в зависимости от знака п) за время dt равно
bqdq = bq2dt — а2 [— п sin (yt -J- р) —)— v cos (yt -)- р)]2 е-2л*Л.
Интегрируя это выражение, найдем изменение энергии за некоторый определенный промежуток времени, например, за период. Даже не производя выкладок, видно, что эта величина пропорциональна квадрату амплитуды, именно:
E = Aa1,
где А—постоянная, зависящая от параметров п иг. Очевидно, что если на систему действуют две силы, пропорциональные скорости bxq и b2q, где > 0, а Ь2 < 0, то на диаграмме энергии (рис. 67) будем иметь две прямые, исходящие из начала, и система будет либо неограниченно раскачиваться (если P2 > Ед> ™6o асимптотически затухать (при
140
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
(ГЛ. III
E2 < E1). Таким образом, для установления автоколебаний по крайней мере одна из этих сил должна быть нелинейной. На рис. 68 представлены диаграммы энергии при нелинейной «ускоряющей» силе; здесь Е+ есть кривая притока энергии,
а Е__ — кривая рассеяния энергии. Точка пересечения обеих кривых соответствует балансу энергии и определяет собою амплитуду а автоколебаний. На рис. 68, а такая точка С одна, а на рис. 68, б имеем две точки C1 и C2. Легко видеть, что в первом случае наступает мягкое возбуждение автоколебаний: если дать системе малое отклонение, то при а < ас приток энергии превышает расход, и амплитуда увеличивается, т. е. имеем нарастание колебаний. Если же сообщить системе значительное отклонение,
