Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(3.36)
а
где
с
(3.37)
(3.38)
q-\-k2(q+rsgnq) = 0.
Введем новую переменную величину г = Я 4- г sgn q.
(3.39)
такого интервала q=z, q = z, а поэтому уравнение (3.39) принимает вид:
z-\- k2z — О,
(3.40)
124
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
давая решение
Z = A cos kt-\- В sin kt,
вследствие чего
q = A cos kt-\-Bsinkt— rsgnq. (3.41)
Пусть начальные условия таковы:
t = t0 = 0, q = qu> 0, q=q0 = 0.
Рассмотрим движение на отдельных интервалах (рис. 57).
9, -T T-
1-*-г ~— %—-J
Рис 57.
Первый интервал движения: <7 < 0, sgn q =—1. Из уравнения (3.41) имеем:
q = A1 cos kt -f- B1 sin kt-f- г,
q = k(— A1 sin kt -f- B1 cos kt).
В соответствии с начальными условиями:
Аі = Яо~г> B1 = О,
Я — (Яо — r)cos kt -f- г.
В конце интервала q = 0, а поэтому U1= я, и тогда ql = — (q0—2r).
Второй интервал движения: <7>0, sgn<7 = -f-l. Из уравнения (3.41) имеем:
q = A2 cos kt -f- B2 sin kt — г, q = k (— A2 sin kt -j- B2 cos kt).
Здесь начальные условия:
і = <7 = ?i<0, q — qi = 0.
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
125
Тогда
A2 = q0—3r, B2 = О, q = (qQ — 3г) cos kt — г.
В конце интервала д = 0\ следовательно, U2 = п, и тогда:
<12 = %—4г.
Беря следующие интервалы движения, мы увидим, что нечетные интервалы будут аналогичны первому, а четные — второму. Можно составить последовательность отклонений:
<7i = (—:1)0?о—2г).
Q2 = (—O2 (?о — 4O..... Qn = (— lf (% — 2Nr)•
Отсюда легко найти число колебаний до остановки. В самом деле, остановка произойдет тогда, когда сила трения покоя будет больше или равна восстанавливающей силе, т. е.
cK-i|>^>cKI
или, после деления на с:
I Qn-і I ^ ro^ I Qn I-
Пока колебания происходят, знаки отклонений должны чередоваться, и если бы оказалось, что два последовательных отклонения имеют один и тот же знак, то это означало бы, что движение прекращается, так как в этом случае восстанавливающая сила оказывается не в состоянии даже перевести систему через нуль. Поэтому можно написать:
qa — 2(N — l)r > r0>%— 2Nr.
Учитывая сказанное, мы можем утверждать, что левая часть этого двойного неравенства положительна, а правая может оказаться и отрицательной, что не противоречит неравенству.
Для нахождения полного числа N размахов до остановки прибавим ко всем частям написанного неравенства 2Nr, вычтем г0 и разделим на 2г. Получим:
(3.42)
Отсюда можно найти искомое целое число N. Иногда для упрощения принимают, что коэффициент трения при
126
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
движении / равен коэффициенту трения при покое /0, т. е. г = г0. Тогда
+ T- (3-43>
На графике колебаний (рис. 58) горизонтальная полоса шириной 2г есть область застоя *). В данном случае колеблющаяся система попадает в эту область, совершив три размаха, после чего движение прекращается. В каждом интервале
движение происходит по гармоническому закону с амплитудой aN = Яо — (2п — 0 г (3-44)
(где »=1, 2, ..., /V) около центра, смещенного на ± г от нуля. Итак, амплитуды убывают в арифметической прогрессии с разностью 2г. Промежуток времени между двумя последовательными остановками (между моментами, в которые <7 = 0) равен лjk\ таким образом, сухое трение не влияет на период колебаний:
т = (3.45)
Для получения фазовой картины движения введем фазовые координаты jе = <7, y = q, тогда уравнение (3.39) запи-
шется в следующем виде:
^-«-^(x+rsgny). 4г = У-
*) Если / = /о, то область застоя имеет ширину 2г0.
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
127
Отсюда находим дифференциальное уравнение фазовых трл:к-торий:
Заметим, что интеграция должна выполняться для каждого интервала отдельно, когда Sgn у есть величина постоянная. Постоянная С определяется для каждого интервала так,
падали с соответствующими конечными значениями для (п — 1)-го интервала; таким образом обеспечивается непрерывность фазовой траектории. Этот метод называется методом припасовывания решений.
Уравнение (3.46) представляет таким образом семейство сопряженных между собою полуэллипсов, центры которых находятся в точках оси х с координатами + г и — г
(рис. 59). Отрезок 2г этой оси около точки О есть отрезок покоя, характеризующий область застоя.
Иногда для удобства вводят «безразмерное время» по формуле
dy _ . 2 х + г sgny
dx — у
интегрируя которое, имеем:
(х + г sgn у)2 , у2 _ ,
"* C2 •
(3.46)
чтобы начальные значения q и q для ti-то интервала сов
У
х
Рис. 59.
Ъ = М.
(3.47)
128
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Тогда, обозначая производные по ft, как и прежде, штрихом сверху, вместо уравнения (3.39) получим:
Я" 4- Я 4- г sgn д' = 0.
Легко видеть, что в этом случае на фазовой плоскости
Рис. 60,
семейство полуэллипсов заменится семейством полуокружностей (рис. 60).
Б. Колебания системы с квадратичным сопротивлением
При исследовании колебаний системы с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости, в уравнении движения приходится, как и в случае с сухим трением, брать двойной знак перед членом, выражающим сопротивление, или же пользоваться функцией sgn. Таким образом, уравнение движения имеет вид:
