Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ds
'g
+ с
[ (-с Т)
2T2(dd2 + sin 2Bdifi2),
] с2 dT2 +J-
(-C Г)
1
dR-
О < —сТ< г.
g>
(2.4.8)
(2.4.9)
Система отсчета (2.4.8)-(2.4.9) может быть осуществлена свободными пробными частицами, движущимися по геодезическим внутри сферы г = rg. Трехмерное сечение T = const имеет бесконечную пространственную протяженность по координате R, а вдоль координат в и \р ото замкнуто и является в целом топологическим произведением сферы на прямую. Трехмерный объем этого сечения бесконечен. Система нестационарна, она сжимается вдоль в mр (радиус сферы уменьшается от rg до 0) и расширяется вдоль R. Собственное время ее существования конечно:
о _____ -« 7Г
f V-Soo dT=— Ti rglc
g-
(2.4.10)
Мировые линии частиц R = const, образующих систему, показаны на рис. 2 в координатах Леметра (2.4.3). Из рисунка видно, что частицы движутся внутри сферы Шварцшильда и система ни в коем случае не яв-
Рис. 2. Мировые линии частиц R = const, образующих систему отсчета (2.4.9) в координатах Леметра
Рис. 3. Пространство-время Шварцшильда в координатах Эддингтона - Финкельштей-на (2.4.12): K=Const - мировые линии фотонов, падающих к г =0; 1, 2, 3 - мировые линии фотонов, движущихся в противоположном (по сравнению с V= const) направлении
19
ляется продолжением системы Шварцшильда для r<rg (ее мировые линии г = const показаны на том же рисунке). Время и пространственное радиальное направление в этих системах своеобразно меняются местами.
Приведем теперь систему отсчета, которая исторически была первой из построенных систем, не имеющих особенностей на Yg [Эддингтон (1924), Финкельштейн (1958)]. Эта система связана с фотонами, свободно движущимися по радиусу. Уравнение движения фотонов определяется выражением (2.3.3). Для фотонов, движущихся к центру, г уменьшается с ростом t. Выражение (2.3.3) для таких фотонов можно переписать в виде
Здесь V — константа, характеризующая радиальную координату фотона для фиксированного момента t.
В выражении (2.4.11) под логарифмом поставлен знак модуля, что обеспечивает применимость выражения и при г < rg*). Если мы возьмем множество фотонов при фиксированном t и припишем каждому фотону номер V, который в дальнейшем не меняется при движении фотона, то подобно тому, как в случае нерелятивистской частицы [см. (2.3.9) ] мы выбирали гл в качестве новой радиальной координаты, здесь можно выбрать V в качестве другой новой координаты. Правда, есть и существенное отличие — никакой наблюдатель не может двигаться вместе с фотоном и в этом смысле новая система не подходит, строго говоря, под определение системы отсчета. Ho в некоторых случаях такая ’’система” из пробных фотонов бывает удобна. Надо только всегда помнить, что V — световая координата (не пространственная и не временная). В качестве второй координаты можно выбрать прежнюір координату г. Тогда, дифференцируя
(2.4.11) и подставляя получающееся выражение для dt в (2.2.1), находим
Выражение (2.4.12) регулярно на r = rg. Действительно, коэффициент при dV2 обращается в нуль на rg, но наличие члена 2d V dr обеспечивает невырожденность этой системы координат. Пространство-время в координатах V, г изображено на рис. 3; при этом учтено, что система неортогональна и координатные линии образуют между собой постоянный угол 45° (на плоскости V, г).
§ 2.5. Сжимающиеся и расширяющиеся Г-области
Рассмотренные выше свойства систем отсчета внутри сферы Шварцшильда в Г-области весьма своеобразны. Действительно, мы видим, что все эти системы обязательно должны сжиматься по в- и ^-направлениям, а коэффициент gi2 должен уменьшаться со временем (что эквивалентно уменьшению г со временем). По-другому этот факт можно сформулировать
*) Всегда надо помнить об изменении смысла координат г и t при г < г^ (см. выше).
С С Tg с
(2.4.11)
ds2 = -^l -^jdV2 +2dVdr+r2(dd2 +sin2Bdip2).
(2.4.12)
20
Рис. 4. Пространство-время Шварцшильда в расширяющихся координатах Леметра. Направление хода времени изменено на противоположное по сравнению с рис. 2
Рис. 5. Пространство-время Шварцшильда в расширяющихся координатах Эддингтона - Финкельштейна. Направление хода времени изменено на противоположное по сравнению с рис. 3
как необходимое движение к сингулярности г = 0 всех лучей света и всех частиц в Г-области. Однако известно, что уравнения Эйнштейна инвариантны относительно замены знака времени. Все приведенные выше формулы останухся^решениями уравнений Эйнштейна, если сделать замену t-*—t, Т-+ — Т, T ~*-Т, V — U, где U нумерует выходящие лучи (U=It-V). Ho такая замена эквивалентна изменению направления течения времени на противоположное. Значит, возможны системы отсчета (например, Леметра, Эддингтона и т.д.) , расширяющиеся из-под сферы Шварцшильда и образованные частицами, вылетающими из сингулярности в Г-области, пересекающими затем сферу Шварцшильда и улетающими на бесконечность (рис. 4,5).
Как совместить вылет частиц из-под сферы Шварцшильда с неоднократно подчеркиваемым выше утверждением, что из-под нее частица вылететь не может? Дело заключается в следующем. Никакая частица не может вылететь из Г-области (из-под сферы Шварцшильда), если она (или другая частица) влетела туда. Другими словами, если под сферу Шварцшильда можно влететь, то из-под нее нельзя вылететь. T-область, которая есть в решениях с заменой течения времени на противоположное, это совсем другая Г-область с совсем другими свойствами. Если в первой Г-области возможно было только сжатие, то во второй возможно только расширение, туда нельзя упасть (что наглядно видно из рис., 4,5).
