Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Важнейшее свойство этого решения состоит в том, что оно не зависит от временной координаты t, а только от г, и определяется одним параметром М— полной массой тяготеющего источника, создающего поле. Даже если в источнике поля есть радиальные движения (сохраняющие сферическую симметрию), пол^ в вакууме, вне вещества, остается постоянным [это утверждение носит название теоремы Биркгофа (1923)]. Вдали от центра тяготения (при г ->•<») пространство-время переходит в плоское пространство-время Минковского с метрикой (2.1.1). Координаты t,r,
в, ip, в которых записано выражение (2.2.1), носят название координат
10
Шварцшильда, а система отсчета, образуемая ими, — системы отсчета Шварцшильда. В малой окрестности каждой точки пространства можно ввести для обычных измерений длины локальную декартову систему координат (х,у, г);
___ / 2GM 1/2
• Sx = VrFTi = U---------2-----------------------------------------------) dr' (2.2.2)
by ~\ёгг dd = г d6, (2.2.3)
= V?зз dip = г sin в dip. (2.2.4)
Множитель (I - 2GMIc2r)~lI2 в (2.2.2) описывает искривленность трехмерного пространства.
Физическое время т, текущее в данной точке г, определяется выражением
VrrT^ „ ,_____ / 2GM \1/2
dr=--------- dx° =\/-?oo<^=(l----------j----J dt. (2.2.5)
Вдали от центра тяготения (при г -*°°) имеем dr =dt, т.е. t — это физическое время наблюдателя на бесконечности.
При меньших г время т течет все медленнее по сравнению CO временем t на бесконечности. При г -*2GMjc2 имеем dr -»0.
Вычислим теперь ускорение свободного падения тела, первоначально покоящегося в системе Шварцшильда (или имеющего малую скорость v < с). Используя формулу (П. 63) (см. Приложение), находим
/-----г GM
F = ^FiF1=----------------7-777- (2-2.6)
r2(l- 2GM/c2r)ll2
Ускорение направлено по радиусу. При r~*2GMjc2 ускорение становится бесконечным. Особенность течения времени при r-*2GM/c2 [см. (2.2.5)] и особенность в выражении для ускорения F [см. (2.2.6)] показывают, что в системе отсчета Шварцшильда при этом значении г имеется физическая особенность*). Значение r = rg =' 2GMIc2 называют радиусом Шварцшильда (или гравитационным радиусом; см. с. 5), а сферу с радиусом rg —сферой Шварцшильда. Мы в дальнейшем подробно рассмотрим смысл физической особенности при г =rg. Сейчас отметим следующее.
Система отсчета Шварцшильда статична, не деформируется [ga(j не зависят OTt,goi~ 0, Dik = 0; см. (П.60) ]. Она может мыслиться как координатная решетка, ’’сваренная” из невесомых жестких стержней, заполняющих пространство вокруг черной дыры. Мы можем изучать движение частиц по отношению к этой решетке, эволюцию физических полей в разных ее
*)Выражение (2.2.6) определяет ускорение, а Jr0=Fm - силу, действующую на тело массы m и измеряемую наблюдателем, расположенным рядом с этим телом в точке га. Если тело удерживается невесомой, абсолютно жесткой нитью, то значение силы, прилагаемой к свободному концу нити в точке г,, будет равно
Sоо O' і )
При стремлении r0 KlGtnIe2 -»«•, в то время как S^1 остается конечной.
11
точках и т.д. Таким образом, решетка Шварцшильда в какой-то степени напоминает решетку жестких координат в неизменном ньютоновском пространстве нерелятивистской физики. Разумеется, геометрия 3-мерного пространства Шварцшильда вокруг тяготеющего центра неевклидова, в отличие от евклидова ньютоновского пространства нерелятивистской физики. Ho в остальном свойства очень схожи*). Это помогает работе нашей интуиции.
Когда мы говорим о движении частиц в поле Шварцшильда, об эволюции полей, мы подразумеваем движение и эволюцию полей в этом аналоге абсолютного ньютоновского пространства**). Наличие критического радиуса в сферическом поле в вакууме rg =IGMIc2, где ускорение свободного падения становится бесконечным, показывает, что для меньших /•< rg такую жесткую, недеформирующуюся решетку продолжить нельзя, там уже нет недеформирующегося пространства — аналога ньютоновского пространства. Тот факт, что на rg величина F обращается в бесконечность, подсказывает нам, что при r<rg все системы должны быть нежесткими в том смысле, чтоgap должны зависеть от времени, системы должны деформироваться (все тела должны падать к центру). Дальше мы убедимся, что так оно и есть в действительности.
Заметим, что указанные особенности не означают, что в геометрии 4-мерного пространства-времени имеется какая-либо сингулярность типа бесконечной кривизны и тому подобное. Мы увидим далее, что пространство-время здесь вполне регулярно и особенности на rg означают физические особенности только в системе отсчета Шварцшильда, т.е. означают невозможность продолжить ее как жесткую, недеформирующуюся (не падающую к центру) при г < rg.
В заключение отметим, что величина rg крайне мала даже для небесных тел. Так, для массы, равной массе Земли, rg = 0,9 см, для массы, равной массе Солнца, rg = 3 км. При г > rg поле Шварцшильда есть обычное ньютоновское поле тяготения с ускорением свободного падения F = GMjr2, а искривленность 3-мерного пространства крайне мала. Так как размеры обычных небесных тел (и вообще обычных тел) много больше rg, то вне тел их поле тяготения есть ньютоновское поле***). Внутри этих тел решение Шварцшильда неприменимо и поле тяготения, разумеется, также с огромной точностью является ньютоновским.
