Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Слабое поле. Расщепление, вызванное кристаллическим полем, меньше энергии спин-орбитального взаимодействия. В этом случае мы имеем дело с «законченным атомом», помещенным в кристалл; состояния атома характеризуются квантовым числом /.
10.2. Представления точечных групп
Рассмотрим прежде всего следующую задачу. Пусть мы имеем некоторое представление группы трехмерных вращений, задаваемое целым числом /. Рассматриваемое как представление точечной группы кристалла, оно приводимо. Какие неприводимые представления данной точечной группы в нем содержатся? Например, группа симметрии регулярного узла решетки в кристаллах типа NaCl есть кубическая группа Оч. Напомним, что она представляет собой прямое произведение групп О и Сі. Ниже перечисляются классы и их элементы, причем «коэффициент» перед символом класса дает число элементов в последнем. Группа Oh содержит 48 элементов; 24 собственных вращения распределяются по следующим классам:
Е: тождественный элемент;
3C4: вращения на угол я вокруг трех осей (100) куба; 6C4: вращения на углы ±я/2 вокруг трех кубических осей (100);
6C2: вращения на угол я вокруг шести осей второго порядка (ПО);
8C3: вращения на углы ±2я/3 вокруг четырех осей третьего порядка (111).
Умножая на оператор инверсии, получим пять других классов, которые содержат остальные 24 элемента: / (инверсия); 3/C4 (отражение в плоскости [100]) [2]; 6/C4; 6/C2 (отражение в плоскости [ПО]); 8/C3.
Вспомним теперь схему (9.4) для точечных групп, образованных путем прямого перемножения некоторой группы на Ci. Видим, что при составлении таблицы характеров группы Oh достаточно "рассмотреть только группу октаэдра О. Последняя содержит 24 элемента и 5 неприводимых представлений. Из условия
2^ = g (юл)
гл. ю]
РАСЩЕПЛЕНИЕ ТЕРМОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
85
(см. § 3.3) мы получаем
24 = 32 + 32 + 22 + I2 + I2.
Таким образом, здесь имеются два трехмерных, одно двумерное и два одномерных представления. Таблица характеров группы О выделена в табл. 9.1 (стр. 76) жирной чертой.
Расщепление различных (21 + 1) -мерных представлений DW можно получить, воспользовавшись соотношениями
8Іп(/ + у)ф .
Xі (Ф)" V , t /V -7 s XnWx' (*)• (10.2)
sin уф я
Из табл. 10.1 следует, что в поле октаэдрической симметрии атомные термы S и P не расщепляются; с другой стороны, вырождение термов с более высокими значениями момента количества движения (начиная с D-термов) частично снимается. Рассматривать особо группу Он нет необходимости, так как четность атомных термов не изменяется в кристаллическом поле.
Таблица ЮЛ Разложение (2/ + 1)-мерных представлений D(/) на неприводимые представления группы О *)
/
E 3C2
6C3 6С<
8C8
Разложение на неприводимые представления
0
1 1
1
г,
I
3 -1
1 — 1
0
г4
2
5 1
— I 1
-1
г3+г5
3
7 -1
— 1 — 1
1
г2 + г4+г5
4
9 1
1 1
0
Г, + Г3 + Г4 + Г5
5
11 -1
1 —1
-1
Г2 + 2Г4 + Г5
6
13 1
-1 1
1
Г, + Г2 + Г3 + Г4 + 2Г5
*) Обозначения колонок — символы классов. Числа — характеры. Используются обозначения Бете.
Рассмотрим теперь аналогичным путем группу тетрагональной симметрии D4z1 = D4 X С*. Группа D4 состоит из восьми вращений, которые распределяются на 5 классов:
?: тождественный элемент;
C4: вращения на угол я вокруг оси 4-го порядка;
2C4: вращения на углы ±я/2 вокруг оси 4-го порядка;
2CV вращения на угол я вокруг осей 2-го порядка, перпендикулярных к основной оси;
2С?: вращения на угол я вокруг осей 2-го порядка, делящих пополам углы между осями 2Сг.
86
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
[4 ПГ
Здесь есть четыре одномерных и одно двумерное неприводимые представления. Характеры группы D4 приведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
E С\ 2C4 2C2 2C2*
г!
t5
I 1 1 1
-2
1 1
-1 -I 0
1
-1 1
-1 0
Разложение представлений D^ на неприводимые представления группы D4 показано в табл. 10.3. В первой строке ее приведены значения /, в последующих — числа, показывающие, сколько раз данное неприводимое представление встречается в DW.
Таблица 10.3
/
4Я
4Я + 1
AX 4-2
4Я +3
г,
Я-Н
Я
X + 1
Я
г2
Я
Я + 1
X
Я+ I
Гз
X
X
Я+І
Я+ 1
г4
X
X
Я+ I
Я+ I
г5
2Я
2Я + I
2Я + 1
Я + 2
Еще более простой вид имеет группа ромбической симметрии D2Z1 = D2X С{. Группа D2 содержит четыре элемента: тождественный и три вращения на угол л вокруг каждой из трех взаимно перпендикулярных осей 2-го порядка. Каждый элемент сам по себе образует класс, соответственно чему мы имеем здесь четыре одномерных неприводимых представления. Таким образом, возмущение симметрии D2Zi расщепляет любой терм D^ на 21 + 1 невырожденных уровня. Характеры группы D2 приведены в табл. 10.4.
Таблица 10.4
E С2 С2
с"
Г,
1 і 1
I
г2
1 -1 -1
1
г3
I -I I
-І
г4
І 1 -1
-1
