Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. U
Практически для решения уравнений (8.26) опять пользуются приближением центрального поля.
Условие антисимметрии волновых функций влечет за собой несколько непосредственных следствий. Во-первых, оно в 1/ЛП ряз уменьшает число волновых функций, которые можно (или нужно) рассматривать. Ранее было показано, что конфигурация содержит всегда 2N(2l\ + I) (2I2 + I) ... (2/jv + 1) вырожденных состояний. Заметим, однако, что детерминант с двумя одинаковыми столбцами равен нулю. Следовательно, ни одна из допустимых конфигураций не может содержать две одноэлек-тронные функции с одним и тем же набором квантовых чисел. Например, у двух ls-электронов спины должны быть антипа* раллельны (т. е. значения M8 должны быть различны). Принцип Паули не допускает также существования конфигурации Is3. Действительно, в каждой оболочке (с заданным значением /) может находиться не более 2(2/ + 1) электронов (это легко проверить прямым вычислением); с другой стороны, в полностью заполненной оболочке орбитальный, спиновый и полный моменты количества движения обязательно равны нулю. Таким образом, условие антисимметрии волновой функции приводит к знакомой картине периодической системы элементов. Справедливость такой оболочечной модели дает нам весьма веские аргументы в пользу приближения центрального самосогласованного поля, следствием которого она является.
Дальнейшее уточнение расчетов, связанное с учетом электростатических поправок к приближению центрального поля, а также с учетом спин-орбитального взаимодействия, можно получить, пользуясь с самого начала антисимметричными волновыми функциями.
При этом четность, естественно, остается хорошим квантовым числом.
Литература
1. Ф. Зейтц, Современная теория твердого тела, Гостехиздат, 1949, Приложение.
2. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, ч. I1 Нереляти вистская теория, изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
ЧАСТЬ ПІ
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
ГЛАВА 9
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
9.1 Определения и примеры
Точечной группой называется группа вращений и отражений, оставляющих некоторую точку инвариантной*). Очевидно, все оси вращения пересекаются в данной «точке», и все плоскости отражений ее содержат. Ясно, что все точечные группы представляют собой подгруппы группы трехмерных вращений и отражений.
Ось вращения называется осью п-го порядка (или /г-крат-иой), если вокруг нее возможны повороты на угол 2nk/n, где k п и k — целые числа. Говорят, что две оси точечной группы эквивалентны, если в группе имеется элемент, переводящий одну из них в другую. Так же определяются и эквивалентные плоскости отражения. Читатель легко докажет, что повороты на один и тот же угол вокруг эквивалентных осей образуют класс; тс же относится и к отражениям относительно эквивалентных плоскостей симметрии. Повороты на углы 6 и —6 (т. е. на углы 2nk/n и 2п(п — k)/n) вокруг одной и той же оси входят в один и тот же класс, если выполняется хотя бы одно из двух условий: либо рассматриваемая ось должна лежать в плоскости симметрии, либо группа должна содержать еще поворот на угол я вокруг оси, перпендикулярной к данной. Оси указанного типа называют двухсторонними. Таким образом, классификация точечных групп и их классов сводится к перечислению входящих в них неэквивалентных осей и плоскостей.
Эти определения удобно проиллюстрировать на примере куба (рис. 9.1). На рис. 9.1, а показаны эквивалентные оси четвертого порядка AB и CD; EF и GH — эквивалентные оси второго порядка, пространственные диагонали // и KL — эквивалентные
*) Мы включаем сюда как собственные вращения, так и несобственные, получающиеся при последовательном применении операторов собственного вращения и инверсии. (В этой главе термин inversion удобнее переводить как инверсия, ибо термин «отражение» занят для описания отражения в плоско ст.— Прим. ред.). Существует и более ограниченное определение понятия точечной группы коисталла (см. гл. 15).
74
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
[4. III
оси третьего порядка. На рис. 9.1,6 плоскости А'В'СD' и E'F'G'H' — эквивалентные плоскости отражения; плоскости отражения f'J'K'L' и I'N'К'M' также эквивалентны друг другу, но не А'В'CD'. Все оси симметрии — двухсторонние, так как они лежат в плоскостях отражения.
Точечную группу G, содержащую несобственные вращения, можно разложить на прямое произведение двух групп: точечной группы Я, содержащей только собственные вращения, и группы Си в которую входят тождественное преобразование и инверсия /:
G = HxC1. (9.1)
Каждому классу С группы H соответствуют два класса, С и /С, группы G. В частности, преобразование инверсии J = EJ
T H L 1
-"^T
Vl_L
' I \
к
а)
6)
Рис. 9.1. Оси и плоскости симметрии куба.
само по себе образует класс. Пусть нам известны неприводимые представления группы Я, Га(.4), где А — типичный элемент группы. Тогда неприводимое представление группы G можно получить, понимая под Га(Л) представление как A4 так и /Л. Обозначим множество всех представлений через Г+, тогда
