Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
остальные - нули,--что у есть линейный агрегат таких rf, для
которых wf - \,-в частности, у нуль, если
таковых вовсе нет. Значение х получается применением S к у,
следовательно, х есть определенный выше линейный агрегат векторов rf,
преобразованных с помощью S. Компонента Stjp с номером р. есть
(поскольку v-й компонентой rf была 8vp): ^j^Ap^Vp' Если мы
теперь будем понимать р-й столбец S: slp, s2p, .. . как вектор, то л:
будет линейным агрегатом всех столбцов, для которых wp = X,-
в частности, х есть нуль, если таковых не существует. Таким образом, наше
первоначальное утверждение доказано: wv w2, ... -это единственные
собственные значения и .xv = svp, X = w - в существенном единственные
решения.
Это весьма важно, поскольку не только знания 5 и Н достаточно для
определения всех решений проблемы собственных значений, но и наоборот, мы
можем определить S и Н, коль скоро мы решили проблему собственных
значений полностью. Например, для Н: w составлено из всех решений X и
каждое такое X появляется в ряду wv w2, ... столько раз, сколько есть
принадлежащих ему линейно-
24 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. I
независимых решений xv х2, ... 28), тем самым wv w2, ... уже определены с
точностью до порядка следования 29).
Таким образом, центральная проблема матричной теории - это решение
уравнения проблемы собственных значений:
Еи 2 ftpvxv = I ¦ (р,= 1, 2, .. .).
V
Перейдем теперь к волновой теории. Основное уравнение этой теории
"волновое уравнение":
Е2. Щ {qv .... qk) = X • ср {qv .. ., qk),
где Н - уже обсуждавшийся дифференциальный оператор. Надо отыскать все
решения tp(qv qk) и X, исключая тривиальное: cp(<7j, ..., qk) = 0 и \
произвольно. Это похоже на то, что требовалось в Е\.: последовательность
xv х2, ... может рассматриваться как функция xv "прерывной" переменной v
(со значениями 1, 2, . ..), соответствующая функции ср(^1, ..., qk)
"непрерывных" переменных qv .... qk\ \ каждый раз играет одну и ту же
роль. И только линейное преобразование
V
на первый взгляд совсем не похоже на преобразование
?(<7i>-----Яа)->Н(?(Я1 Як)-
Как же достичь аналогии?
Мы рассматривали индекс v как переменную и установили параллель между ней
и ft переменными qx qk, т. е. между положительным целым числом и
произвольной точкой ft-мерного конфигура-
ционного пространства (которое мы будем отныне называть пространством Q).
Поэтому нельзя ожидать, что 2 можно перенести в Q
V
в виде суммы, скорее правильной аналогией будет интеграл
. dqx ... dqk (или, короче, J .. . dv, dv-элемент объема
S2
28) Ведь столбцы slp, s2p, ...-матрицы S с таким р, что w0 = \ образуют
полный набор решений и в качестве столбцов матрицы, имеющей обратную,
должны быть линейно независимы.
29) Поскольку произвольная перестановка столбцов S одновременно
с соответствующей перестановкой строк S-1 переставляет таким же образом
диагональные элементы Н, порядок w[t w%, ... фактически неопределен и
неустановим.
3) ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ТЕОРИЙ: ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 25
dq1 . . . dqk в Q). Матричному элементу h^, который зависит от двух
переменных типа индекса v, тогда соответствует функция
h (0i Як> Ч'у • • •' Як).
в которой qv . .., qk и q[ q'k независимо пробегают всю область ?2.
Преобразование
2 или л;ч-* 2 Aw**'
V V'
должно перейти тем самым в <р(0г • • > Яь)-+
-* J ... / h{qv ..., qk; q[, .... qk)<f(q[, • ... q'k) dq[ ... dq'k,
Я
а проблема собственных значений E\,, которая может быть записана как
Е\щ h^'Ху' - X ¦ Ху
v'
переходит в
?з' ? "_/Л ^ <7*: Ч'1.ч№(ч'1.qk)dqi-- •dq
я
= ^•9(0,- •••• 00-
Задачи собственных значений типа ?3. широко изучались в математике и
действительно могут быть представлены в виде, в сильной степени
аналогичном проблеме Е\.. Они называются "интегральными уравнениями" 30).
Однако, к несчастью, Е2. не представляется в такой форме или, точнее, она
может быть представлена в этой форме лишь, если для дифференциального
оператора
и и I h д h д \
\01' Як> 2я/ dq\ * 2ni dqk)
30) Теория интегральных уравнений обрела свою определенную форму, в
работах Фредгольма и Гильберта. Исчерпывающее изложение, пополненное
литературными ссылками, можно найти в книге Куранта и Гильберта Courant -
Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, Berlin, 1931. (Русский
перевод: Методы математической физики, Госгехиздат, 1951.)
26 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ !ГЛ. I
может быть найдена такая функция h(cil qk\ 7' qчто
I- Щ(Ч\ Яь) =
= f ¦¦¦ f Л(Я 1........7*1 4v • ¦ ¦¦ я'к)ч{ч[> •... q,k)dqi .. . dqk
2
выполняется тождественно (т. е. для всех 9(71. .... 7 а))-
Эту h(qv .... qk\ q[ 7'), если она существует, будем впредь
называть (интегральным) "ядром" функционального оператора Н, а сам Н
тогда называется "интегральным оператором".
Но такое преобразование вообще невозможно, т. е. дифференциальные
операторы Н никогда не являются интегральными операторами. Даже
простейший функциональный оператор, преобразующий каждую <р в самое себя,
- этот оператор называется 1 - не является таковым. Остановимся на этом
