Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
можем найти для каждой / ф 0 одно X с Exf Ф 0, затем р с F^ (Exf) ф 0,
затем vcO, (F ^ (Exf)) Ф Ф 0 Так оказывается окончательно, что
.. - G^F^EJ ф 0; ExFpGv-• • f фО, К (Хул-¦ ¦) f ф0,
т. е. что / не ортогональна к $(Xpv..-). Итак, функция /, ортогональная
ко всем $(Xpv-..), =0. Тем самым на совокупность всех $(Xpv. •.)
натягивается все $ как замкнутое линейное многообразие.
Пусть теперь cpj'>v )t cp(r)v )f ...-ортонормированная система, на которую
натягивается замкнутое линейное многообразие $(Xpv- ¦ •). (Эта
последовательность обрывается или нет, судя по тому, имеет ли ^(Xpv- • •)
конечное или бесконечное число измерений; если, напротив, $(Xpv- • •) =
0, то она состоит из 0 членов.) Каждая ср<^ } принадлежит некоторому
(Xpv• • •), является, следовательно, собственной функцией всех А, В, С
Две различные } всегда ортогональны^
друг другу: если они обладают одной и той же системой X, р, v......
то на основании их построения, если они обладают различными системами X,
р, V, ..., то поскольку они принадлежат к различным $(Xpv. . •). Все
функции cp<">v ) растягивают то же замкнутое линейное многообразие, что и
все $(Xpv---) - многообразие Тем самым 'PjXiL ) образуют полную
ортонормированную систему.
Итак, мы построили полную ортонормированную систему из одних лишь общих
собственных функций операторов А, В, С, . .. В дальнейшем мы предпочтем
обозначать ее через <]>,, ф2 а соответствующие уравнения будем записывать
в виде
= Btym == РтФт* ^т='1т'^т.........
Возьмем теперь какую-нибудь систему различных друг от друга чисел Хр х2,
х3, ... и построим эрмитов оператор В с одними лишь
134
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. II
дискретными собственными значениями Х], х2, . . . и соответствующими им
собственными функциями ф2, •••. т. е. положим
110
т = 1
Пусть, далее, F (х)- определенная в интервале -со < •/ < -}- оо функция,
для которой имеет место F(*m) = 'km (т= 1, 2, ...) (для всех остальных
значений х функция F (х) может быть произвольной); точно так же G(x) -
функция с G(xm)=ipm, Н (х) - функция с Н(xm) = vm, ... Покажем, что
А = F (/?), B = G(R), С = //(/?), ...
Нам надо показать, что, если /? обладает чисто дискретным спектром X],
х2, .., с собственными функциями ф], ф2, .... то /^(г) будет обладать
чисто дискретным спектром F (xj), F (х2), ... с теми же самыми
собственными функциями фр ф2, ... Поскольку, однако, функции ф], ф2, ...
во всяком случае образуют полную ортонормированную систему, то будет
достаточно доказать, что F (R) фт =
= F Ю 1 Фт-
Пусть, в согласии с 11. 8, EQ.) = 2 ^[Фп,]- принадлежащее R
разложение единицы. Тогда, как мы знаем, можно будет записать
символически
и, по определению,
Я = J \dE(\)
F(R) = J F (к) dE (X).
no) *i. *2. *3. ••• следует выбрать ограниченными, например, хт=-~,
чтобы R оказался непрерывным. Действительно, из непрерывности R, т. е. ЙЗ
ЦД/11 - 11/Ц, следует тотчас же
II Яфт II = II *тФт II = I I < С • || фт || = С, | хт | < С,
а из |-лт |< С (т = 1, 2, ...) - обратно:
ЮТ =
R\ 2 хпАп
,т = 1
11/112 =
хт'-тЧт
т- 1
2
т= I
= 2^ т = 1
следовательно, II Я/II2 = С2, оператора R.
г, II Я/11 = С- II/H, т. е. непрерывность
Ю]
КОММУТИРУЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ
135
Далее
Е
= Для = 0 для %т > X.
Отсюда следует, что для всех g
(F{R)tym, g) = f F (X) d (E(\) (]"", g) = F(*m)-(<]>m g), т. e.
действительно F (R) фт = F (xm) • фт.
Тем самым доказательство для случая чисто дискретного спектра, как мы и
обещали, выполнено. Для случая непрерывного спектра нам придется
удовлетвориться указаниями примечания109) (стр. 132). Мы хотели бы только
остановиться на одном особенно характерном случае.
Пусть - пространство всех /(<7р <72) с конечным
J J l/07i> Яг)\2 dq\dq2, определенных в квадрате 0 q2^\, Обра-
зуем операторы A = qx•••, B = q2•••. Они эрмитовы, в рассматриваемой
области определения на плоскости qv q2 также и непрерывны (при -оо < <7Р
- нет!), далее, они коммутируют. Следо-
вательно, они оба должны быть функциями одного R. При этом последний
должен коммутировать с Л и В, откуда, на доказательстве чего мы не будем
здесь останавливаться, следует, что R должен иметь вид s(qx, <72)'''
Is(?р Ч2) - ограниченная функция]. Но тогда Rn{n = 0, 1, 2, ...) должен
равняться {s{qv q2))n---, и F(R) равняться F(s(qx, q2))-• •, если F(¦*.)
- полином. Последнюю формулу можно, однако, во что мы также не можем
глубже вникать здесь, распространить на все F (*). Итак, из F(R) = A,
G(R) = B следует,
Это значит, что взаимно обратные отображения s(qv q2) = х и F(x) = qx,
G(v) = q2 должны были бы одно-однозначно отображать поверхность квадрата
О С <7,, ^2<! 1 на линейное числовое множество переменной х- нечто, что
противоречит геометрической интуиции.
Однако на основе упоминавшегося выше доказательства мы знаем, что это тем
не менее должно быть возможным. И в самом деле, отображение желаемого
рода действительно осуществляется посредством так называемой кривой
Пэано112). Внимательное изучение приведенного в прим. ш9) доказательства
