Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
выбрать некоторое ср0 из 91^- g и некоторое ф0 из 91^- $ такие,
Фп Фп
что сро =т^= 0, ф0?=0; и если мы их еще заменим на ^ ц~" мы
будем иметь ||ср0|| - ||ф0|| = И Определим теперь оператор V в [(r), ср0]
так, что для / = ср-|-яср0 (ср из (r), а - некоторое число) Vf = U<p -f-
яф0. причем V, очевидно, линеен; так как ср ортогональна к ср0 и ?/ср
ортогональна к ф0, то ||/||2= ||ср||2-|-| я |2, ||У/||2 = = ||?/ср||2-|-
| а |2, и, значит, \\Vf\\ = ||/|| и V изометрический оператор. Наконец, V
есть истинное продолжение U. Следовательно, максимальный характер А
определяется тем, что 6 = 9^ или $ = 91^.
Если, с другой стороны, А не максимален, то оба замкнутых линейных
многообразия 9^ - (r) и 91^- g отличны от нуля. Пусть ортонормированными
системами, растягивающими эти многообразия, будут cpj, .... срр и фр ....
ф? соответственно (ср. теорему 9. из II. 2); р = 1, 2 оо; q= 1, 2 оо; при
р или q, равном оо, ряд ср или ф не обрывается. Пусть r = Min(jt?, q),
тогда мы определим оператор V в [(r), cpt срг] следующим образом: для
Г Г
/ = <Р+2*,ср, (ср из (r); а аг - числа), Vf = t/cp -|- 2 яф.
v=l v=l
Далее легко убедиться в том, что V - линейный и изометрический оператор и
что он является истинным продолжением U. Его область
определения - это [(r), ср:......срг], т. е. при г - р она совпадает
с [(r), 9^ - (?] = 9?^; его область изменения - это [g, ф5 фг]
и, следовательно, при r = q она совпадает с [$, 9^ - Sl = ^oo-Значит,
одна из двух областей во всяком случае равна 91^. Пусть V будет кэли-
образом эрмитова оператора В. В соответствии с нашим рассуждением В есть
продолжение А и притом максимальное. Заметим, что ср и ф могут быть
выбраны бесконечным числом разных способов (например, мы можем заменить
ф: на любое 0ф: с |0| = 1). Соответствующая неопределенность остается и в
выборе V и В.
Итак, мы до конца проанализировали проблему собственных значений и пришли
к следующему выводу: если она разрешима, то она имеет лишь одно решение,
однако для немаксимальных операторов она, безусловно, неразрешима.
Немаксимальные операторы всегда могут быть бесконечно многими способами
продолжены до максимальных (мы все время имеем в виду эрмитовы замкнутые
операторы).
128
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ И
Но условие максимальности не есть в точности то же, что условие
разрешимости проблемы собственных значений. Первое гласит, что (5 = 9*^
или 5 = 9^, в то время как последнее - что 6 = 91^
и 3 = 9*оо-
Мы не собираемся подробно исследовать здесь те операторы, для которых
имеет место первое условие и не имеет места второе, т. е. операторы, для
которых проблема собственных значений неразрешима и поскольку (вследствие
максимальности) они не имеют истинных продолжений, то это положение для
них окончательно. Операторы эти характеризуются тем, что для них 6 = 9*^,
3=^9*^, или (? =? 9*^,, 3 = 9*^. Такие операторы существуют на самом деле
и все они могут быть получены из двух простых нормальных форм, так что их
можно рассматривать как исключения по сравнению с максимальными
операторами с разрешимой проблемой собственных значений. Читатель может
найти более подробные сведения об этом предмете в статье автора,
упомянутой в прим.95) стр. 111. Во всяком случае в настоящий момент эти
операторы должны быть исключены из квантовомеханического рассмотрения.
Причина этого состоит в том, что разложение единицы, принадлежащее
данному эрмитову оператору, столь существенно входит (как мы вскоре
убедимся) во все представления квантовой механики, что просто невозможно
отказаться от его существования, т. е. от разрешимости проблемы
собственных значений 105). В соответствии с этим мы будем, как правило,
допускать только такие эрмитовы операторы, для которых проблема
собственных значений разрешима. Поскольку это свойство является усилением
максимальности, мы будем называть такие операторы гипермаксималь-ными
106).
105) Тем не менее, как указал автор (цитировано в прим.78), стр. 91),
следующий оператор является максимальным, но не гипермаксимальным: пусть
Sioo - пространство всех / (q), определенных в интервале 0 ^ д 4= -f- со,
ОО
с конечным интегралом J \f(q)\2dq; и пусть R- оператор, ~j~ > опреде*
о
Ленный для всех Непрерывно дифференцируемых /(g) с конечным интегра-
ОО
лом J | /' (д) |2 dq и с условием / (0) = 0, причем оператор, сделанный
-°° 2тс
замкнутым. Он равен тогда А\ если взять А' из II. 8 для интерн
вала 0, оо, следовательно, эрмитов. Этот R максимален, но не гипермакси*
мален. Убедиться в этом можно прямым вычислением g и g.
Это замечательно потому, что А' - R надлежит интерпретировать
физически как оператор импульса в полупространстве, ограниченном с одной
стороны стенкой q - 0.
юб) Это понятие восходит к Erhard'у Schmidt'у, ср. ссылку прим.78), стр.
91.
101
КОММУТИРУЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ
129
В заключение следует отметить два класса (замкнутых) эрмитовых
операторов, которые в то же время непременно гипермаксимальны. Во-первых,
