Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
сходящийся,-т. е. нуль или положителен и конечен, - или собственно
бесконечен, т. е. равен -|-со77). Последнее заключение справедливо
независимо от связи с Н, т. е. безотносительно к тому, имеет ли Н/ смысл,
или нет. Следует поэтому ожидать, что н/ имеет смысл (т. е. существует в
91^) тогда и только тогда, когда предполагаемое значение ||Н/||2 т. е.
имеющее для
+ 00
всех / смысл выражение J X2d (|| ?(Х)/||2) конечно.
- ОО
Итак, с нашей новой формулировкой Si. - S3. задача выглядит следующим
образом: Для данного эрмитова оператора Н мы ищем семейство проекционных
операторов ?(Х) (-cogiX=gco) с такими свойствами:
S,. При Х-> - со или Х-> + со, ?(X)/->0 или ->/ соответственно. При Х-
>Х0, XsgX0, ?(Х)/->?(Х0) / (для каждого /!).
52. Из неравенства X'sgX" следует, что ? (Х')^? (X").
+ 00
53. Интеграл J X2d( j| ?(Х)/||2), по природе своей сходя-
- ОО
щийся (равный нулю или положительному конечному числу) или же собственно
расходящийся (+со) характеризует область определения Н: Н/ определено
тогда и только тогда, когда этот
77) Это следует из определения интеграла Стильтьеса, данного в прим.73)
на стр. 86. Доказательство смотри в указанной там литературе.
6 РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 91
интеграл конечен (или нуль). В этом случае для всех g
•f ОО
(Н/. g) = / g).
- ОО
(Последний интеграл абсолютно сходится, если первый конечен 78).)
Сам Н вовсе не входит в формулировку свойств Si., S2. Семейство
проекционных операторов со свойствами Si., S2. мы будем называть
разложением единицы ("die Zerlegung der Einheit"). О разложении единицы,
связанном соотношением S3, с оператором Н, мы будем говорить, как о
принадлежащем Н-
Итак, проблема собственных значений в ставится следующим образом: Всегда
ли существует для данного эрмитова оператора Н, принадлежащее Н
разложение единицы, и если существует, то сколько? (Нужный ответ должен
быть: существует всегда точно одно.) В дальнейшем нам еще останется
показать, как наше определение проблемы собственных значений соотносится
с общими методами, которыми пользуются в квантовой механике (в частности,
в волновой теории) для определения собственных значений эрмитовых
операторов.
8. Предварительное рассмотрение проблемы собственных значений
Первый вопрос, возникающий в связи с нашей формулировкой проблемы
собственных значений, состоит в том, что Si. - S3, звучат совершенно не
так, как задача, с которой мы начинали предыдущий раздел, и их
взаимоотношение больше не прослеживается. Правда, мы вывели Si. - S3, в
Шп из первоначальной формулировки, но в 9?^ все соотношения существенно
видоизменились. Обе формулировки более не эквивалентны (как они были -
что специально отмечалось в свое время-в 9("). Значит, вся проблема в
сущности снова остается открытой, и мы должны показать, в какой мере
новая формулировка совпадает со старой, т. е. в каких случаях и каким
образом наши Е(к) определяют прежние X,, Х2, . . . и <р,, <р2, . ..
Если разложение единицы Е(к) принадлежит эрмитову оператору А, то в каких
случаях уравнение
А? - К?
разрешимо? Уравнение А<р = Х0ср означает то же самое, что (Лер, g) -
Х0(<р, g) = 0
(tm)) Ср. Math. Ann. Bd. 102 (1929).
92 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
для всех g, т. е.
СО
0= J Xd (Е (X) /, g) - Х0 (ср, g) =
- ОО
оо оо оо
= fXd(E(X)f. ?)-Х0 fd(E(X)f, g)= J*(X - Xq)d(?(X)f,g).
- OO -CO -CO
Положим сначала g = E (X0) /, тогда
OO
0 = f (X - X0) d (E (X)/, E (X0) /) =
- OO
OO
= J* (X - X0) d (? (X0) ? (X) /, f) -
- CO
OO
= J(X - X0)d(?(Min(X, Xq))/, /) =
- OO
OO
= f (X - X0)d (11 ? (Min (X, X0))/||2).
- OO
OO Xq OO
Мы можем разбить теперь J* в сумму I /•в I мы можем
- ОО - ОО Xq - оо
оо
заменить Min(X, Х0) на X, а в J* на Х0. Значит, в последнем инте-
*0
грале под знаком дифференциала стоит константа и таким образом он
исчезает. Для первого интеграла остается тогда
/ (X - Х0) d (|| ? (X) /1|2) = 0.
- ОО
Далее положим g = /, тогда
ОО ОО
0 - /(X Х0)d(?(X)/, /)= f (X - Х0)й?(||?(X)||2).
- СО -со
Вычитая из этого первое уравнение, получим (изменив знак подин-
8] РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 93
тегрального выражения)
ОО
/ (Х0 - X) rf (|| ? (X) /1| 2) = 0.
*0
Рассмотрим теперь интегралы
*0 00 J (X0-X)d(||?(X)/||2). / (X X0)rf(||? (Х)/||2)
-00 X,
несколько более подробно. Подынтегральное выражение в обоих случаях ^0 и
под знаком дифференциала стоит монотонно возрастающая функция от X.
Следовательно, мы имеем для каждого е > О
Х$ Xq -s
J(X0-X)rf(||?(X)/||2)^ j (X0-X)rf(||?(X)/||2)^
- 00 -00
X0-8
j erf(||?(X)/||2) = e||?(X0-e)/p, - 00
OO oo
J(X-X0)rf(||?(X)/||2)^ J(X-X0)rf(||?(X)/||2)^
X0 X0+e
oo
is /erf(||?(X)/||2) = e(||/||2_||?(X0 + e)/||2) =
Xq+8
= s||/-?(X0 + e)/||2.
Следовательно, правые стороны ^0, но поскольку они тождественно >0, то
они должны исчезать. Итак,
?(Х0-е)/ = 0, Е(Х0 + е)/ = /.
Вследствие непрерывности ?(X) спрз' мы можем устремить е->0 справа во
втором уравнении: ?(Х0)/ При Х^Х0 тогда, в силу
