Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
частности, при R - S все полиномы по R коммутируют между собой.
80
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
6. Проблема собственных значений
Итак, мы продвинулись достаточно далеко, чтобы рассмотреть в абстрактном
пространстве Гильберта ту самую задачу, которая составляла в ее частных
реализациях Fz или Fs центральный вопрос квантовой механики - решение
уравнений Е\. и Е2. из 1. 3. Мы назовем ее проблемой собственных значений
и должны будем сформулировать ее наново и более единообразным способом.
В 1. 3 и в Ei. и в Ei. требовалось найти все решения ср ф 0 уравнения
Е. |-|ср = Хср,
где Н - эрмитов оператор, отвечающий функции Гамильтона (ср. обсуждение в
1. 3), ср - элемент гильбертова пространства, а X- вещественное число (Н
- дано, X и ср - ищутся). При этом, однако, выдвигаются определенные
требования относительно числа нужных решений. Их должно быть столько,
чтобы
1. в матричной теории из этих решений
Tl === {*^11' 512' ¦¦¦)• *Р2 == {^l* 522> •••}> •••
(напомним, что мы в Fz !) могла бы быть образована матрица 5 = {s },
которая имеет обратную S-1 (ср. I. 3);
2. в волновой теории в ряд по решениям
У\ = У\(Я\.....4f)> <Р 2 = Ъ(Я\ ?/)'•••
можно было бы разложить любую функцию cp(<7j qj) (не обязанную быть
решением уравнения)
СО
?(?!.......?/) = 2jC"<P n(4i qf)
и=1 '
(cpj, ср2, ... могут принадлежать различным значениям X). (Последнее
обстоятельство не упоминалось, правда, в 1. 3, но оно необходимо для
дальнейшего развития волновой теории и, в частности, для "теории
возмущений" Шредингера66).)
Но 1. ведет к тому же, что и 2., потому что матрица 5 переводит {1, 0, 0,
...}, {0, 1, 0, ...}, ... соответственно в
{511> 512' 513> ¦¦¦}• {%> 522 ' 523' •••}.
и, следовательно, все гильбертово пространство в замкнутое
линейное многообразие, натянутое на срг ср2.........и, значит, для
того,
66) См. третью статью из упомянутого в прим.9) на сгр. 13 сборника
(Ann. Phys. [4] Bd. 80 (1926)).
6]
ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
81
чтобы существовала S-1, последнее обязано тоже быть равным 9^. А 2.
утверждает то же самое прямо: оно тоже требует, чтобы каждое ср могло
быть аппроксимировано с любой степенью точности линейной комбинацией cplt
ср2, ... 67).
Выясним, сколь сильно это условие, и попутно докажем еще раз свойства
уравнения Е., пользуясь тем формальным аппаратом, который теперь имеем в
своем распоряжении.
Во-первых, - поскольку мы требуем ср Ф 0 и поскольку сер есть решение,
коль скоро ср является таковым,-достаточно рассмотреть только решения с
jjср[| = 1. Во-вторых, нет нужды требовать, чтобы X было вещественным,
потому что это следует из Нср = Хер:
(Нср, ср) = (Хер, ср) = X (ср, ср) = X
(ср. II. 5, прим. 61) на стр. 76). В-третьих, решения cplt ер2,
принадлежащие различным Хр Х2, взаимно ортогональны:
(Нерп Тг) = (Тг* Ъ)> (Нерн (Р2) = ('Рп Нср2) = Х2 (ерх* ер2).
Значит, (срг, ср2) =т 0, так как Хг (срг, ср2) = Х2(ср1, ср2), a Xj Ф Х2.
Пусть теперь Xlt Х2, ... - это отличные друг от друга X, для которых Е.
разрешимо. (Если мы выберем для каждого X с разрешимым Нср = Хер по
одному решению ерх длины 1, то эти ср образуют, в силу сделанных прежде
замечаний, ортонормированную систему. Следовательно, по теореме 3(со). из
II. 2 этот набор образует конечную или бесконечную последовательность.
Но, значит, мы можем записывать и X как (быть может, обрывающуюся)
последовательность.) Для всякого X = Хр все решения уравнения Нср = Хер
образуют линейное многообразие и притом замкнутое68). Следовательно,
согласно теореме 9. существует ортонормированное множество 'Рр г • • • •
'Рр ,
таких решений, которые как раз растягивают это замкнутое линейное
многообразие. Ясно, что число vp - это максимальное число
линейнонезависимых решений с Х = Хр. Это число известно под названием
67) Мы сознательно не входим здесь в более точные вопросы сходимости; в
оригинальных формах матричной и волновой теорий эти вопросы тоже не
устанавливались с аккуратностью; позже мы установим это (ср., например,
II. 9).
68) Последнее обстоятельство очевидно без дальнейших пояснений только для
непрерывных, повсюду определенных Н, т. е. если из /п->/ следует, что Н/"
-> Н/. Между тем достаточно будет, как легко убедиться, и менее
ограничивающего свойства из f" -> /, Hf" -> /* следует, что Н/ = /* (это
так называемая "замкнутость" Н; ср. работу автора в Math. Ann. Bd. 102
(1929)). Это последнее всегда выполняется для квантовомеханических
операторов, даже для не непрерывных. Точнее, незамкнутый эрмитов оператор
может быть сделан замкнутым (и эрмитовым) с помощью однозначного
расширения его области определения (что не имеет места, например, для
свойства непрерывности, ср. II. 9, стр. 112).
6 И. Неймац
82
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
кратности собственного значения Хр. (v = 1, 2, ..., со; v = оо может
встречаться. Например, Х=1 для Н = 1.) В соответствии с предыдущим
рассуждением сррЛ, ..cpp_v с двумя разными р также взаимно
