Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
требовать лишь для макроскопических величин. Но зато это ослабление
влечет за собой существенное усиление, которое становится возможным лишь
при макроскопическом способе рассмотрения. А именно, мы покажем, что для
любого состояния системы значение любой (макроскопически измеримой)
величины не только имеет микроканоническое среднее в качестве временнбго
среднего, но и обладает малой дисперсией, т. е. временные точки, в
которых значение отклоняется от среднего не мало, очень редки.
Полезно сравнить это с соответствующими соображениями из классической
теории. Там указанную теорему, эквивалентную оправданию статистически-
механических методов, разбивают на два шага следующим образом: прежде
всего надо показать, что для любой величины временная статистика
совпадает с микроканонической, а затем, что для так называемых
макроскопических величин последняя имеет малую дисперсию. Первое
утверждение как раз и является классической квазиэргодической теоремой,
которая не может быть доказана в настоящее время, а второе, напротив,
можно легко доказать с помощью комбинаторных вычислений**). Взамен этого,
как уже было сказано, мы будем называть эргодической теоремой указанное
выше следствие из обеих частей.
*) То, что доказанная только что теорема не может быть правильной
эргодической теоремой, видно также из того, что ее предпосылки
(невырожденные энергии) являются слишком слабыми: они сохраняют силу для
известного контрпримера против классической эргодической теоремы! Ср.
III., 3.
**) Ср., в особенности, I. с., прим. *) на стр. 326.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 335
Более точная дискуссия будет приведена в ходе этой работы, здесь же мы
укажем только на два следующих обстоятельства: во-первых, в нашей
формулировке эргодической теоремы мы потребуем, чтобы намеченное выше
временнбе поведение действительно имело место для каждого начального
состояния системы (для любого ф) без исключения (классически можно было
бы вполне допустить исключения в частях энергетической поверхности,
имеющих меньшую размерность). Во-вторых, надо подчеркнуть, что реальное
состояние, с которым мы и работаем, является волновой функцией, т. е.
чем-то микроскопическим, - если бы мы здесь действовали макроскопически,
то это означало бы введение гипотезы о беспорядке, но мы как раз этого
хотим безусловно избежать. То же самое можно сказать и об операторе
энергии, который фигурирует в зависящем от времени дифференциальном
уравнении Шредингера *), его тоже надо рассматривать точно
(микроскопически). (Иначе, конечно, будет при построении энергетической
поверхности, что будет видно из дальнейшей дискуссии.) Перейдем теперь
после сказанного к небольшому разговору об условиях, которые оказываются
необходимыми для справедливости эргодической теоремы.
6. Они распадаются на две группы: во-первых, те, которые относятся к
(микроскопическому) оператору энергии Н, во-вторых, те, которые относятся
к подразделению (макроскопической) энергетической поверхности на фазовые
ячейки и к величине последних. (Дальше мы точно установим, что следует
понимать квантовомеханически под энергетической поверхностью, фазовыми
ячейками и другими конструкциями в фазовом пространстве; предварительно
же вполне достаточно будет оперировать с этими понятиями так, как это
было обычным в доквантовомеханической теории. В частности, под фазовыми
ячейками мы понимаем такие подразделения фазового пространства, которые
могут быть осуществлены с помощью макроскопических измерений.)
Относительно энергии оказывается: разности термов (собственные колебания)
должны отличаться друг от друга, а также и сами термы (отсутствие
вырождения!), т. е. если Wlt W2, ... являются собственными значениями, то
все Wm-Wn (тфп) должны отличаться друг от друга, а также и все Wn.
(Допустимы даже редкие исключения!) Как видно, по своей силе это условие
занимает промежуточное положение между двумя найденными в 4. В
разз^мности этого условия мы убедимся в разделе III. 3. этой работы. В
частности, мы увидим, что оно нарушается как раз в классических
контрпримерах против эргодической теоремы (идеальный газ без соударений,
объем, запол-
*) Оно гласит H^t\ в 4. мы воспользовались его явным
решением.
336
ДОПОЛНЕНИЕ
ненный излучением без поглощения) и опять восстанавливается известными
(но признаваемыми действенными лишь эвристически) контрправилами
(введение столкновений, а также поглощений и испусканий соответственно).
Относительно величины фазовых ячеек получается в существенном следующее:
число состояний (квантовых орбит) а каждой фазовой ячейке не только
должно быть очень велико, но в среднем должно быть все еще велико по
сравнению с числом фазовых ячеек на их энергетической поверхности. Более
подробное разъяснение этого условия оставим до дальнейших обсуждений этой
работы, здесь же укажем только на следующее: если совершать предельный
переход h-> 0 (так что квантовая механика приближается к классической),
