Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
неизмеримости этих величин **). Предположим теперь, что суще-
.г '
ствуют два других перестановочных оператора ??* и Р*, которые лишь мало
отличаются от Qk, Рк, причем настолько мало, что для их соответственных
отклонений мерой являются два числа kQk и ДРк,
h
произведение которых не превосходит существенно из соотношения
неопределенностей. ^Естественно, что в силу P>fik - -
= 4^1, Q'kP'k-P'kQ'k =0 оно не может быть меньше ~ Немного
отличная, но, как легко убедиться, по существу, та же формулировка
получается, если заметить следующее: перестановочные операторы Qk, Pk
должны обладать полной ортогональной системой общих собственных функций
***), назовем их <plt ср2, • • • Потребуем тогда от этой системы
следующее: в любом состоянии срл дисперсии Qk и Рк
меньше, чем kQk и ДРк соответственно ^и при этом kQk • Д
Тогда одновременное измерение Qk, Pk, после которого должно наступать
некоторое состояние срл, действительно дает нам одновременную информацию
относительно Qk и Рк. Впрочем, достаточно отыскать полную ортогональную
систему <рх, ср2, • • • с указанными выше свойствами; тогда Qk, Pk могут
быть сейчас же установлены - для этого достаточно лишь задать их
собственные значения в состояниях срл(я=1, 2, ...), каковые собственные
значения целесообразно выбрать равными математическим ожиданиям Qk< Pk в
состояниях срл ****).
*) Ср. Schrodinger, Ann. d. Phys. 79, 8 (1926).
**) Ср. P. Dirac, Proc. Roy. Soc. 113 (1927) и W. H e 1 s e n b e r g, 1.
c., прим. ***) на стр. 326.
***) Будем считать ради простоты, что реально измеренные величины Qk, Рк
имеют только дискретный спектр, что бывает на самом деле, если мы имеем
дело с конечным объемом. Тогда существование общей системы собственных
функций доказывается в точности так же, как в случае обычных
(конечномерных) матриц. Ср. по этому поводу F го b е n 1 u s, J. f. Math.
84 (1877), Hellinger и. T о e p 111 z, Enzykl. d. Math. Wiss., Bd. II, C.
13 (Art. 41).
**¦*) To есть oo
f 9,*1<Рл(9,1 qf)?dqx ...dqf
- OO
И
00
2it f 4 ("1 Vfh* (?1.............4f) dqi . • • dqr
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Д-ТЕОРЕМЫ
329
Это, по существу, убедительное допущение мы можем теперь подтвердить
математически: каковы бы ни были два положительных
числа е, т; с ет) = С -- (С-константа, ср. по этому поводу прим. *)),
существует полная ортогональная система cpj, ср2> • • • такая, что в
любом состоянии срл дисперсии Qk и Рк будут меньше, чем е, т)
соответственно *). Задание ср" и доказательство их свойств приводит к
довольно затруднительным выкладкам **), приводить которые мы здесь не
станем, тем более что сказанное до сих пор достаточно проясняет
принципиально наиболее важное.
Таким образом мы делаем следующее допущение о сущности макроскопических
измерений: они являются исключительно измерениями одновременно измеримых
величин (с взаимно перестановочными операторами), которые связаны с
простыми и не измеримыми одновременно физическими величинами (координаты,
импульсы и т. д.) лишь настолько, насколько это допускается соотношениями
неопределенности. В дальнейшем изложении работы должно быть показано, как
это осуществляется в деталях.
3. Относительно общего формального аппарата квантовой механики надо
иметь в виду следующее. Состояния системы будут характеризоваться
известным образом комплексными функциями ср=<р (?j...........)
(так называемыми волновыми функциями), определенными
*) Как видно, Ся;1 было бы идеальной оценкой (использующей все
возможности, допускаемые соотношением неопределенности). Автору удалось
ft
лишь достичь С < 3,600, но поскольку - в макроскопических (СОЗ)-едини-
цах составляет я;10-28, то это несущественно.
**) Нужно воспользоваться введенными Гейзенбергом, 1. с. прим. ***) на
стр. 326, волновыми пакетами
1 , / а 2 к1 . \
~Wq +\W+~n ) q " 1
- мы пишем q вместо qk и опускаем остальные из qlt qf, в указанном
выше состоянии Q - q.,, и/>=?Д-=... имеют средние значения а, Ъ и
2ш dq
/ h \s
квадраты дисперсий 02, (j^gl соответственно, - где
""/I"*
0 = ==- ? и i, / = 0, ±1, ±2, ...
Vc
Получающиеся таким образом функции записываются в каком-нибудь порядке в
виде последовательности и затем, согласно Шмидту (Е. Schmidt, Math. Ann.
63 (1907)), "ортогонализируются". Это дает желаемую систему ?i,
330 ДОПОЛНЕНИЕ
в "пространстве состояний" системы, т. е. в /-мерном пространстве,
описываемом / координатами qv ..., qр физические же величины - эрмитовыми
операторами А, В, ... *). Важнейшими операциями с этими объектами
являются: "внутреннее произведение"
(<Р. Ф) = / ••• /<Р(?1.........?/Ж?1.....4f)*dql ...dqf
(* мы обозначаем комплексное сопряжение) и "абсолютная величина"
.dqf**).
Простейшее описание состояний с помощью волновой функции tp делается так:
математическое ожидание величины А в состоянии tp равняется (А ср, tp).
Задание всех математических ожиданий означает, поскольку одновременно с
этим становятся известными математические ожидания всех степеней (т. е.
