Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
него нашу полупроницаемую стенку аа и сдвигаем ее затем до середины
(положение ЬЬ); температура газа должна при этом поддерживаться
постоянной за счет контакта с большим тепловым резервуаром W температуры
Т на другом конце 23. С ср-мо-лекулами при этом процессе не происходит
ничего; ф-молекулы же, напротив, оттесняются в правую половину К (между
ЬЬ и 23). Иными словами, если рассматривать ~ Р^)-газ как 1:1-
смесь
Р^-газа и Р[ф]-газа, то с первым не происходит ничего, а второй
оказывается изотермически сжатым до половинного объема. Из уравнения 4
состояния идеальных газов следует, что при этом процессе будет совершена
механическая работа^- хТ 1п 2
(N о
I это число молекул Р[ф]-газа,
ах - постоянная Больцмана)195), и, j -----------------------------^------
---------------------^
поскольку энергия газа (из-за изотер-мии) не меняется196), это количество
Рис- 3.
энергии возьмет себе тепловой резервуар W. Увеличение энтропии резервуара
составит, следовательно
(ср. прим. 186) на стр. 267), -у = Л7х- In 2.
После этого процесса слева от ЬЬ содержится половина первоначального Р^-
газа, т. е. N/4 молекул; справа же от ЬЬ- половина первоначального Р^-
газа, т. е. N/4 молекул, и весь Р^,]-газ, т. е.
Л7/2 молекул, - т. е. всего ЗЛ7/4 молекул ^ Р[?] -j- -g- Рдо j-газа.
V 37
Сожмем и соответственно расширим эти газы до объемов и ,
причем соответствующая механической работе энергия опять перейдет к
тепловому резервуару W (или будет заимствована у него). Эта
19В) Если идеальный газ состоит из М молекул, то его давление р=
Поэтому при сжатии от объема до объема V2 будет совершена механическая
работа
f pdT = Mv.T j1 -^- = MxTln-^. т, rt
N V
В нашем случае М = , Tpi = ~2 и 7г = У.
196) Как известно, энергия идеального газа зависит лишь от его
температуры.
а Ь 2
Рис. 3.
18*
276 ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ [ГЛ. V
работа составит -^-*Т1п2 или хТ In у (ср. прим. ш) на стр. 269),
и, следовательно, энтропия резервуара возрастет на Ny • In 2 или, со-
3 3
ответственно, на -Ny • у In у. Все вместе составит
№.(11п2+11п2-|1п^№.11п{.
Итак, в результате мы пришли к одному Р\ч]~ и к одному
/ 1 D I 2 D \ N 3N
1 з"М<р] I з"МФ1 j-газам из у и, соответственно, у- молекул, занимающих
объемы ~ и у^-. Первоначально же у нас был один
Р[ф]^-газ из N молекул в объеме У или, что то же, два
/1 " , i D \ N3N л V 3 V
I 2" "[<р] | 2"МФ1 )'газа из f и -у- молекул в объемах у и у-
соответственно. Таким образом, весь процесс привел к следующим
N V ( 1 1 \
изменениям: у молекул в объеме у перешли из I у Р\9\ + у Рщ )-
п ' 3N л W ( 1 г, , 1 г, \
газа в Р^-газ; у молекул в объеме -у перешли из I у Р[?] + у "[ф| г
газа в j-газ; к энтропии резервуара W добавилось
Ny • у In у. Поскольку процесс обратим, то полное увеличение энтропии
должно составить 0, т. е, изменения энтропий обоих газов должны как раз
скомпенсировать увеличение энтропии Поэтому нам надо еще знать изменения
энтропий газов.
Как мы увидим, энтропия U-газа из М молекул составляет - My • Spur {U In
?/), если энтропия Р1х]-газа того же объема и той же температуры
нормирована на нуль (ср. выше). Поэтому, если U обладает чисто дискретным
спектром с собственными значениями wlt w.2........................
СО
то это составит -My - 2 wnlnw" (при этом xlnx следует считать
П- 1
равным 0 для х = 0). Теперь, как легко сосчитать, операторы Plf],
-)-у Р[ф]) и Р[9] у Р|ф] j обладают собственными значениями 1,0 или,
соответственно, (r) или' соответственно>
3 + V1 + 8а2 3 - V1 + 8а*
-¦' , :-уу , 0 (где а = )(ср, i|i)|, следовательно ^>0
2] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 277
и < 1), из которых 0 во всех случаях бесконечно кратен, а остальные
однократны197). Поэтому энтропия газов возрастает на
-",.0- (tm) ".(з+ЮТБ1 +з -ГГ+8^1 |п з-Щ+8^ +ЛГ<. (!+.," 1±.4
3 4
Добавляя сюда еще и увеличение энтропии Nv. • 4-ln-g- резервуара И7, мы
должны получить 0. Если разделить все на A7x/4, то получится
З + У 1+8а2 3 + ^1 -f 8а2 3 - V1 +8а2 3 - У 1
+ 8а2 ,
2 6 2 6 "Г-
+ 2(l+a)lnl±^ + 2(l-a)lni^ + 31n | = 0, причем 0 a 1.
,97) Определим собственные значения оператора (йЯ|Т) + ЬР^. Должно быть
iaPw\ + bPm) f =
и, поскольку левая часть является линейной комбинацией у и ф, то такой
будет и правая, следовательно и /, если Х=?0. Х = 0 наверняка будет
собственным значением бесконечной кратности, так как к нему будет
относиться любая /, ортогональная к у и ф. Поэтому достаточно рассмотреть
X ф 0 и / = x<f -j- уф (у и ф должны быть линейно независимы, так как
иначе у = сф, | с | = 1, т. е. два состояния тождественны).
Тогда выписанное выше уравнение будет гласить
я (х + У ОЬ V)) • У + ь (х (У. 'I') + У) • 'l' = 1х ' Ч + Ху • 'I',
т. е.
а • х + я (<р, ф) ¦ у = X • л:, 6 (у, ф) • х 4- 6
• у = X ¦ у.
Детерминант этих уравнений должен обращаться в нуль:
:0; (а_Х)(6-Х)-я&|(у, ф) |2
я - X, я (у,
Ь (у, 4')> ь -
X2 - (a-f6)X-fa6(l -а2) = 0;
а 4- 6 ± У^я 4- &)2 - 4я6 (1 - а2) _ a-j-b±yr(a - 6)2 4~ 4з2а6
Если теперь положить здесь я = 1, 6 = 0 или я = -^-, b = 7f> или a=='g',
