Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
вдоль такого направления, получим новый вектор а', кол-линеарный
первоначальному. Иными словами, если на-
28
правление вектора а совпадает с главным направлением
Тензора П, то (П, а) - Ха. Скалярная величина X называется главным или
собственным значением тензора; она показывает, во сколько раз тензор П
изменяет длину векторов, расположенных вдоль главного направления
((поэтому число X еще называют коэффициентом растяжения).
Выясним, сколько главных направлений имеет данный тензор и как они
ориентированы на плоскости. Запишем векторное равенство (17) в проекциях
на оси координат:
Pvflx "Ь Р 12&2 = ^1>
Р21&1 "Ь р22&2 = ^2'
Эту систему уравнений можно представить так:
(Pii "Ь Pi2^2 = О,
Р21@1~\~(р22 ^)#2=0.
(18)
Полученная система однородных линейных уравнений относительно а1 и а2
имеет ненулевые решения только в том случае, если определитель системы
равен нулю:
Г X р.п
Р и p2i
X
= 0.
(19)
В развернутом виде это уравнение, называемое характеристическим, имеет
вид:
Рм Pl2
ь*-Мри+р") +
7*21 Р 22
= 0.
(19')
Из него находим собственные значения Я,. В том случае, когда оба корня ^
и Л,,, действительны, мы получим, вообще говоря, два главных направления.
Действительно, подставляя в (18) последовательно значения Я,, и Я,", мы
для каждого из них получим соответствующие отношения
компонентов векторов а1 и а11. Главные направления оп-
ределяются углами а, и аи между векторами а1 и аи и осью
7i - Ри Р21
f,r
Р12 ^1-P22 '
7 и - P11 P21
p 12
^¦11 P22
(20)
(20')
29
Легко понять, что в случае трехмерного тензора мы с помощью аналогичных
рассуждений получили бы кубическое характеристическое уравнение, которое
имеет по крайней мере одно действительное значение (остальные деэ корня
могут быть мнимыми). Поэтому у пространственного тензора всегда
существует либо одно, либо три главных направления.
В дальнейшем мы будем рассматривать наиболее важный для практики класс
симметричных тензоров, у которых, как можно показать, главные значения Я
являются действительными числами.
Можно также доказать, что главные направления, или оси симметричного
тензора в общем случае, когда корни различные (Я,^ЯП), взаимно
перпендикулярны. И только в случае кратных корней (Я, = ЯП) все
направления на плоскости являются главными и в качестве осей тензора
можно выбрать любые два взаимно перпендикулярные направления. (Почему так
ведут себя тензоры с одинаковыми главными значениями, станет ясно из
последующего.)
Задача. В системе XOY тензор 5 характеризуется матрицей:
2 - 1 II
- 1 2 || '
Найти его главные направления.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или
%*-4Я + 3 = 0.
Отсюда Х = 2±1. Следовательно, главные значения тензора равны Я, = 3,
А,п=1. Подставляя в (20) значение Я, = 3, получаем первое главное
направление:
tg"i = rrr = -l, а, = 135°.
Аналогично для второго главного направления:
^"п = ^= + 1, ап = 45°-
Таким образом, главные направления пересекаются под прямым углом (рис.
6).
30
Рис. 6
Поскольку симметричный тензор всегда имеет два взаимно перпендикулярных
направления, естественно рассмотреть представление тензора в системе
координат, оси которой совпадают с главными осями этого тензора.
Обозначим компоненты тензора 5 в такой координатной системе через sjk.
Умножив скалярно 5 на орты -> ->
*! (1, 0) и i2 (0, 1) главных осей, получим:
(S, *i) = ^i4>
А -> ->
^2) = 1^'п^2'
Спроектировав каждое из этих равенств на обе оси координат и принимая во
внимание формулы (18), мы легко получим, что Su = ^j, Sm = ^h, sJ2 = S2i
= 0. Поэтому тензор, приведенный к главным осям, имеет диагональный вид:
*1 0
0 Ап
а его составляющие направлены вдоль координатных осей
и соответственно равны: = sa = Ania.
Мы знаем, что, хотя компоненты тензора принимают в разных системах
координат различные значения, существуют некоторые инвариантные
соотношения между компонентами, верные в любой системе.
Чтобы установить вид этих соотношений, учтем, что у каждого тензора
имеются свои главные направления и соответствующие им главные значения Aj
и Ап, которые имеют непосредственный геометрический или физический смысл,
не зависящий от выбора осей координат.
31
С другой стороны, главные значения определяются из характеристического
уравнения (19'), коэффициентами которого являются некоторые функции
компонентов тензора. Для того чтобы значения корней и Я.,, этого
уравнения не зависели от выбора системы координат, коэффициенты
квадратного уравнения должны быть неизменными. Отсюда мы получаем два
инварианта, связанные с главными значениями по теореме Виетта:
I nv1 = pu + p22 = 'k] + k
II"
Inv"
р 11 Рч
Р12 Р 22
= х.хп.
Сумма диагональных элементов тензора и определитель матрицы его
компонентов не зависят от системы координат и являются основными
инвариантами двумерного тензора.
§ 8. Тензорный эллипс
Тензору, вообще говоря, нельзя сопоставить определенный геометрический
образ (и этим, в частности, объясняется трудность усвоения тензорного
