Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
девятью скалярными компонентами:
Рп Pi2 Pi3
P2i Р22 Рзз
p3i Р 32 Рзз
Рхх Рху Рхг
РуХ Руу Руг
Ргх Ргу Ргг
Ясно, что у трехмерного тензора имеется, вообще говоря, три взаимно
перпендикулярных главных направления и три главных значения Я,,Дп, А,ш.
Симметричному неособенному тензору в трехмерном пространстве
соответствует центральная поверхность второго порядка (в системе главных
осей):
у2 tj2 j"2
ТЖ + !Д^ + Щ)7= L (6)
При этом в зависимости от знаков собственных значений
X,. X
viii
эта поверхность принимает следующие формы:
1) X, > 0, Хп > О, Х,,,, > 0 - эллипсоид,
2) Xj О, Х" О, Х[п 0-
3) х, > о, хи<о,хш<о-
-однополостный гиперболоид, -двухполостный гиперболоид,
4) X, < О, X,, < О, Хш < 0 - мнимый эллипсоид.
На практике чаще всего встречается первый случай. Поэтому принято
поверхность (6) называть тензорным эллипсоидом (хотя в тех случаях, когда
реализуются условия 2) и 3), она будет гиперболоидом). Инвариантами
трехмерного тензора являются:
h =
Pii Р12 p2i Р 22
h = Pii + Р22 + Р зз = + Хц + Хш,
Р22 Р2З
Р 82 РЗЗ
(7)
+
Pii Р13 Р 31 Рзз
+
/" = det II =
Pii Р12 Pis
Р21 Р 22 Р 2 3 Рз1 Р 32 Рзз
- XjXj, -f- XjXjjj -f- XjjXjjj,
(7')
= XjXjjXjj, . (7")
Перейдем теперь к рассмотрению примеров различных физических тензорных
полей в реальном трехмерном пространстве.
36
§ 2. Тензор деформации
Прежде всего подчеркнем, что при деформации различные участки тела,
вообще говоря, деформируются неодинаково (неоднородная деформация).
Поэтому следует говорить о деформации в данной точке, имея в виду
изменение объема и формы элемента тела в окрестности этой точки.
Покажем далее, что ни векторные, ни тем более скалярные величины не могут
быть использованы в качестве меры деформированности элемента тела, для
этого необходимы более сложные, тензорные величины.
Действительно, пусть тело, первоначальная форма которого показана на
рисунке 8, а, после деформации приняло форму, показанную на рисунке 8, б.
Для математического описания этой деформации сопоставим каждой
>
точке тела вектор смещения U = г' -г (где г' и г - радиус-векторы точки
после и до ее перемещения).
Ясно, что при деформации мы имеем дело с векторным
полем U (г), область которого совпадаете первоначальными размерами тела
(рис. 9). Зная поле вектора смещения
U (г), мы можем полностью определить деформацию тела. Однако каждый
отдельно взятый для данной точки вектор
U никакой деформации характеризовать не может. Ведь
37,
если и соседние точки сместились на такую же величину -?• ->
U, т. е. если в окрестности данной точки U = const, то
рассматриваемый элемент тела вообще не деформирован,
->
хотя вектор смещения U не равен 0.
Отсюда ясно, что степень деформации в каждой точке
->
тела определяется не вектором смещения U в данной точке, а относительным
изменением этого вектора в ее окрестности. Может поэтому возникнуть
предположение, что искомой характеристикой является производная векторной
-> -> djj
функции U (г), представляющая собой тензор . Легко,
dr
л dU
однако, убедиться, что производная -- не всегда харак-
dr
теризует деформацию. Действительно, если, например, тело целиком
повернулось на некоторый угол, то вектор
->
смещения U не равен нулю и изменяется от точки к точке; dU
при этом тензор -^ заведомо отличен от нуля, хотя ни-dr
какого изменения объема или формы не произошло. Чтобы стало яснее, в чем
дело, разложим тензор-производную на симметричную и антисимметричную
части;
4-(€) +(€) .
dr \dr Js \dr IA
Ниже будет показано, что антисимметричная часть тензора-
производной совпадает с так называемым ротором (или
-> ->
вихрем) векторного поля U(г) и характеризует поворот 38
элемента объема в пространстве. Симметричная же часть
- dU ж
производной -т=г полностью определяется деформацией те-
df
ла и называется тензором деформации:
д-*- 1 (дЛ±. I диЛ _L (дЛх_ | диЛ
дх 2 V ду ' дх ) 2 \ дг ' дх )
}_(диг_,диЛ j_(du^_ , д"у\ диг_
2 \ дх ' дг ) 2 \ ду ' дг ) дг
Как уже отмечалось, каждому симметричному тензору можно сопоставить
определенный эллипсоид.
В главе I был указан общий метод нахождения эллипса, соответствующего
двумерному тензору. Оказывается, однако, что для характеристики
деформации удобнее геометрически интерпретировать тензор U эллипсоидом
деформации, который строится иначе. Способ построения последнего мы
изложим на примере деформации плоского сечения тела.
Окружим рассматриваемую точку плоскости окружностью единичного радиуса;
ее уравнение в координатах, как
известно, имеет вид: х2-\-у2= 1, или в векторной форме
-->
(г, r)= 1. В результате деформации, характеризуемой тен-^ ->
зором U, каждый радиус-вектор г преобразуется в новый
вектор r' = (U, г), а указанная окружность - в новую линию, которая
представляет собой геометрическое место
концов радиус-векторов г'. Поскольку U является линейным оператором
(аффинором), то ясно, что уравнение преобразованной линии также будет
второй степени. Окружность деформируется в другую линию второго порядка.
