Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда далее вытекает, что в случае симметричного тензора S скалярное
произведение его на произвольный вектор не зависит от порядка
сомножителей (это произведение коммутативно):
(S, а) = (a, S).
Произведение же антисимметричного тензора А на вектор антикоммутативно:
{А, а) = - (а, А).
Заметим, что для вычисления компонентов векторов
-> хч -> -> 74
а'=(П, а)иа"=(а, П) удобно пользоваться известными правилами умножения
матриц, рассматривая любой вектор
25
как некоторую столбцевую или ст р о ч и у ю матрицу
а' = (П, а) =
-> -> л
а" = (а, П) = (аг, а2)
h> ^2)
|Рп Pi*
Р, 1 Р22
\Р и I Р,1
"1
а2
Pi,
Р22
_ (Риа1 + Pl2"2N
\Р-21^1 "Ь р22^2/
= (a1p11 + aapai, • • •)•
t\lt\2 Pll^U "Ь Plt^,! Pll^lt "Ь Pl,t22
^21^22 Р21^11 "Ь Pt,t,l P,\t 12 "Ь P22^22
В первом случае мы получили вектор а' в виде столбце-бой матрицы, во
втором-вектор а" в виде строчной.
6. Скалярным произведением двух тензоров Пи(r) называется тензор Ф,
матрицы компонентов которого равны произведению матриц тензоров
сомножителей, т. е. (fkl - '^Pkjtji'
Д ft ^ \\PuPl,\
Ф = 11 • SiJZ = !
IР21Р221
Кроме перечисленных, существует еще ряд более сложных операций над
тензорами, но мы их рассматривать не будем.
§ 6. Тензор как аффинор
л ->
Тот факт, что при умножении тензора П на вектор а получается не зависящий
от системы координат новый
вектор а!, позволяет рассматривать тензор не только как математическую
величину, но и как некий оператор, превращающий один вектор в другой.
Вообще, оператором, или преобразованием, называют правило, сопоставляющее
функции и (х) определенную функцию v (х). Операторы, которые прямые линии
преобразуют в прямые, называют аффинорами.
С различными свойствами операторов мы подробнее познакомимся в ч. III, а
сейчас ограничимся тем, что любой тензор можно рассматривать как аффинор
и, наоборот, каждому аффинору можно сопоставить некоторый тензор. Поэтому
можно дать новое определение тензора.
Если некоторый оператор П, характеризующийся в каждой системе координат
своей четверкой чисел ри, р12, р13,
/?14, преобразует произвольный вектор а в новый вектор а' по линейным
формулам (12), той есть аффинор (тензор).
26
Отсюда получается критерий, с помощью которого можно судить, является ли
математический объект II, определяемый в каждой системе координат своей
матрицей чисел:
Ри Pl2 |
Р 21 Р22 [
тензором или нет. А именно, пусть некоторый вектор а характеризуется (в
данной системе координат) определенной столбцевой матрицей ¦ Ясно, что в
результате умножения квадратной матрицы Цр^Ц на матрицу-столбец мы
получим новую столбцевую матрицу:
/ ^1 \ ^ Рп(r)1 Pl2^2
\^2/ \Р21(r)1 р22^2
В различных координатных системах элементы Ьг и Ь2 будут выглядеть по-
разному, но если всегда они харак-
теризуют один и тот же вектор Ъ, то матрица || pjk |] определяет тензор
(или аффинор) П.
Применим теперь этот критерий для получения явного
вида тензора как производной векторной функции по век-
-^ >
торному аргументу. Пусть дано векторное поле а (г). При
бесконечно малом смещении dr из некоторой точки поля
-> ->-
в соседнюю точку функция а получает приращение da.
Чтобы связать da и dr, выберем какую-нибудь координатную систему с/осями
и Х2. Каждую точку поля
будем определять не вектором г, а числами х, и х", а
векторную функцию а(г) = а(х1, х2) заменим полностью эквивалентной
системой двух скалярных функций координат ах (Xj, х2) и а2 (ху, х2).
Соответственно вектор приращения функции da будет характеризоваться двумя
скалярными дифференциалами dal(x1, х2) и da2{xlt х2). По правилам
дифференцирования функций нескольких переменных мы вправе записать:
dai т., , доц
Если бы мы выбрали иную систему координат (Х[, Х'г), то рассматриваемые
векторы имели бы другие компоненты:
а(а[, аг), da(da[, da'2), dr (dx'u dx2). Соответственно равенства (14)
приняли бы форму:
da[ ¦-
дах , . дах , ,
-- -4 dxt + - dx2,
OX j OX 2
da'2=^dx[+^dx'2.
OXi OX 2
(14')
Сопоставляя равенства (14) и (14'), можно убедиться, что в каждой системе
координат имеется своя четверка ска-
компонентам
лярных величин
которая
дхj ' дхг ' дхх ' дх2 '
-У
вектора dr(dxltdx2) линейным образом сопоставляет компоненты одного и
того же вектора da (dalt da2).
Следовательно, эта совокупность чисел образует аффинор, называемый
тензором-производной векторной функции по векторному аргументу и
обозначаемый так:
да1 дах \ дхх дх<
da -+ ' dr
да,
оа2
дх"
(15)
дхi см-2
Этот тензор полностью характеризует быстроту изменения
зависимой переменной а. Равенства (14) могут быть теперь записаны в
тензорном виде:
/\
da = {^%, dr ^ . (16)
§ 7. Главные направления тензора
Мы уже неоднократно отмечали, что при скалярном умножении тензора на
вектор получается новый вектор, вообще говоря, отличный от
первоначального как по модулю, так и по направлению.
Оказывается, и мы сейчас убедимся в этом, у тензоров существуют некоторые
главные направления на плоскости,
такие, что, воздействуя тензором на вектор а, взятый
