КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
§=2 ?[фт]+От,
где w = и + iv, ^ [-0- +г^-). Подставляя сюда
aw I \ои ovJ
[фт\ = Re(c"H = \cwn + \cwn,
где с ф 0, получим
^ = тспГ-1 + От.
Чтобы доказать неустойчивость решения w = 0, введем в рассмотрение
комплексную величину cwm = W, которая удовлетворяет уравнению
W = m2\cwm~1\2 + 02т-1-
Упростим это уравнение, отбросив малый член 02т-\\ новое уравнение будет
иметь интеграл ImW. Что представляют из себя решения упрощенного
уравнения, видно из рисунка 10, где изображены линии
188
Лекции о гамильтоновых системах
Рис. 10
уровня ImW при т = 3. Из выполнения при достаточно малых |го| неравенства
2
ReW = m^cw(tm)-1]2 + 02m-i >
следует, что RelR монотонно возрастает; это указывает на неустойчивость
решения w = 0.
в. Для того чтобы обеспечить устойчивость решения w = 0, мы вынуждены
потребовать обращения в нуль среднего
и покажем, что уж тогда w = 0 окажется устойчивым! Более точное
утверждение составляет содержание теоремы 11. Для ее формулировки нам
понадобится функция
о
Мы потребуем даже большего, а именно выполнения условия
2-к
(4)
о
в
Ф(0, u,v)= / ф(в', и, v) de' = R e(P(0)wm) +... , (5)
о
которая, согласно (4), имеет период 2тг по 9.
Лекция 4
189
Теорема 11. Решение w = 0 системы (3) устойчиво, если ф = ip - в
удовлетворяет условию (4), т ф 3 и периодическая функция Р(в), заданная
формулой (5), ограничивает область ненулевой площади.
о
К примеру, ip = в + Re(cetn9wm) + ... дает устойчивую орбиту, ес-ли с ф
0, т ф 3 un/O.
Доказательство.
Снова применяя метод усреднения к уравнению (3), с использованием
преобразования
Здесь первый член в слагаемом = Фгш + Ф"" имеет порядок т- 1,
поскольку Фт гармонична по и, v и, следовательно,
может быть присоединено к остаточному члену. К получившемуся уравнению мы
еще раз применим метод усреднения, в результате чего в подходящих
координатах w = и + iv оно примет вид
и переписать дифференциальное уравнение следующим образом:
w = w - 2(1 + и)2 Ф^,
мы получим дифференциальное уравнение
~jE = -4(Ф wujV'W + ^ШиФ^т) + 02Я1-2-
ф Ю'шфчй - 02Я1-2
190
Лекции о гамильтоновых системах
Отбрасывая малый добавочный член 02т-2, мы придадим этому уравнению
гамильтонов вид; Н, а следовательно, и |го| превратятся при этом в
константы движения. Если бы указанный член вовсе отсутствовал, то
поверхности |го| = const явились бы искомыми магнитными поверхностями.
Принимая, однако, во внимание и этот член, мы докажем устойчивость
решения w = 0 для всей системы в целом. Стремясь использовать для этой
цели теорему 9, мы изучим отображение, которое переводит начальные
значения гг(0) в значения w(2ir). Магнитная поверхность будет
пересекаться с плоскостью в = 0 (mod 2тг) по кривой, инвариантной
относительно этого отображения. Обратно, всякая инвариантная кривая
порождает магнитную поверхность - последнюю образуют решения, проходящие
через всевозможные точки этой кривой. Нам достаточно, таким образом,
построить инвариантную кривую отображения, охватывающую точку w = 0.
Разлагая решение уравнения (6) в ряд по начальным значениям гг(0) = w, мы
найдем, что
где а = 2ттп12(ш - 1 )А ф 0. Легко видеть, что наше отображение, если не
обращать внимания на 02т-2, является "закручивающим". Для придания ему
надлежащего вида растянем переменные, полагая
где w' заключено в кольце 1 ^ |"/| ^2. Тогда при малых положительных е
имеем
Такие отображения уже изучались выше (лекция 3, формула (8)). Здесь
W = SW ,
w'( 2тт)
p = 2(m - 2); а = 2т - 3; j = a\w'\2^m 2К
Таким образом, если нам удастся показать, что рассматриваемое отображение
обладает свойством пересечения замкнутых кривых, то существование
инвариантных кривых в кольце
Лекция 4
191
при достаточно малых е будет гарантироваться теоремой 9 и доказательство
теоремы 11 будет закончено. Проверкой выполнения условия пересечения мы
сейчас и займемся.
г. Свойство пересечения. Мы покажем прежде всего, что отображение,
введенное выше, сохраняет элемент площади
^<рв du dv = du dv,
где и, v - первоначальные координаты. Чтобы убедиться в этом,
воспользуемся тем, что поток, определяемый дифференциальным уравнением
(2), имеет нулевую дивергенцию и, следовательно, сохраняет элемент объема
rdOdudv.1
Рассмотрим окрестность Do точки w = 0 в плоскости в = 0 и решения,
проходящие через ее точки. Отрезки этих решений, лежащие между
плоскостями в = 0 и в = 27г, заполняют некоторую трехмерную область 12.
Той частью ее границы, которая лежит в плоскости в = О, является Do; ту
часть, которая лежит в плоскости в = 27г, мы обозначим через D^• Через
12( обозначим область, в которую 12 перейдет по истечении времени t.
Понятно, 12 и 12< имеют одинаковые объемы. При малых t множества 12 и 12<
совпадают почти полностью, именно с точностью до малых цилиндрических
множеств возле плоскостей в = О и в = 2тг. Поскольку объем 12; не зависит
от t, мы имеем
О = -7- / rdOdudv dt
J г dO dudv = J гв du dv - J гв du dv,
-?*2тг Do
откуда следует, что элемент площади
