КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
изучении ограниченной задачи трех тел).
Если а\а.2 < 0, то, как мы увидим, устойчивость зависит от нелинейных
инвариантов системы. Для того чтобы выразить условие устойчивости в
доступном виде, воспользуемся результатами, полученными при изучении
нормальной формы. Чтобы обойти тонкий вопрос о сходимости, мы построим
преобразование, приводящее гамильтониан к нормальной форме только в
членах порядка, меньшего или равного 4. Такое преобразование может быть
найдено, если jiai +.720:2 ф 0 при о< lii| + + |J21 < 4 или если
где Д" = xf, + yf, и через О5 обозначен степенной ряд, содержащий члены
порядка, не меньшего 5.
(1)
Ф | при p,q = 1,2,3,4.
(2)
Мы можем предположить теперь, что
(3)
174
Лекции о гамильтоновых системах
Теорема 7 (В. И. Арнольд [1]). Если детерминант из коэффициентов
гамильтониана (3)
(Pll 012 оц\
012 022 2 I = -(011(^2 - 201204 0,2 + 022о\) (4)
од а2 0 /
не равен нулю, то точка х = у = 0 является устойчивой точкой равновесия
системы, определяемой этим, гамильтонианом.
г. Прежде чем перейти к изложению идеи доказательства, мы укажем на
то, что условие (2), также как и условие D ф 0, в принципе допускает
проверку. Практически эта проверка включает в себя вычисление а", /3"д
как функций коэффициентов при членах 2,3,4-го порядка гамильтониана, что
может оказаться делом весьма затруднительным. Для ограниченной задачи
трех тел эти вычисления были проделаны м-ром и м-сс Депри [8] в 1966 г.
вслед за А. М. Леонтовичем [16], который еще в 1962 г. доказал
устойчивость точек Li,L<j с точностью до наличия некоторых исключительных
значений, которые не были указаны конкретно.
Хорошо известно, что для достаточно малых д, а именно таких, что 0 < <
д(1 - р) < т. е. при 0 < р < рч = = 0.0385 линеаризованная в L4 система
устойчива. Частоты од, а2 оказываются корнями уравнения а4 - а2 +
97
+ - pt) = 0. Гамильтониан может
быть преобразован к виду (1), где од, а2 имеют противоположные знаки!
Депри нашли для детерминанта D следующее выражение:
I 36 - 541afa% + 644afa$
8 (1 - 4afa|)(4 - 25а^а^)
Этот детерминант, рассматриваемый как функция от д, изображен на графике.
Рис. 5. Условие устойчивости для гамильтониана, имеющего нормальную форму
в членах порядка ^ 4
Лекция 3
175
Отсюда видно, что интервал 0 < fi < содержит единственное исключительное
значение цс = 0.0109, где D обращается в нуль; кроме того, следует
исключить два других значения Ц2, Цъ-, при которых нарушается условие
(2)1. Для случая системы, состоящей из Солнца и Юпитера, величина ц ~
0.000954 оказывается гораздо меньшей всех этих критических значений, и
устойчивость, следовательно, гарантирована.
д. Две геометрические теоремы. Мы переходим к изложению двух
геометрических теорем, существенных для последующего. Они относятся к
отображениям плоского кольца, сохраняющим площадь. Мы уже знакомы с тем,
как связаны такие отображения с дифференциальными уравнениями. Как
проводится редукция к такому отображению в ситуации, возникающей при
доказательстве теоремы 7, мы увидим позднее.
Для описания плоского кольца мы воспользуемся полярными координатами:
квадратом радиуса R = х2 +у2 и полярным углом в. Кольцо при этом зададим
неравенствами 1 ^ R ^ 2. Элемент площади в таких координатах имеет вид
dx dy = 1dR d6.
Рассмотрим сначала отображение Mq простого вида, которое мы будем
называть "закручивающим":
R\ = 72, в\ = в + 7(72);
оно, понятно, сохраняет элемент площади и концентрические окружности
переводит в себя. Каждая из этих окружностей поворачивается на угол
7(72), который, вообще говоря, зависит от радиуса. Основным
предположением в дальнейшем будет то, что 7(72) непостоянен, точнее, что
^0 при 1^тг^2. (5)
Свойства этого отображения очевидны. Всякая окружность 72 = const, для
которой состоит из неподвижных точек отображения М%.
Z7T Ч
1 Согласно А. П. Маркееву [7*] в случае ft = рс имеет место устойчивость,
а в слу-
чаях ц = Ц2 или ^ = /73 - неустойчивость. Точные значения ft2, fiz
приведены в книге Ю. Мозера "Лекции о гамильтоновых системах" на стр.
120. - Прим. перев.
176 Лекции о гамильтоновых системах
Всякая окружность, у которой 7 и 27г несоизмеримы, плотно покрывается
образами при итерациях Mq (q = 1,2, ...) любой точки этой окружности.
Главной нашей задачей будет изучение отображения Ме, близкого к
закручивающему отображению Mq. Мы рассмотрим, таким образом, отображение
МЕ:
(R1=R + sf(R,e,s),
| = в + 7(R) + sg(R, в, г),
где /, g предполагаются периодичными по в с периодом 27г. Это отображение
определено в кольце 1 ^ R ^ 2, но отображать его в себя не обязано.
Теорема 8 (Пуанкаре -Дж. Биркгоф).77г/сть 7,(Д) ^0, и пусть МЕ сохраняет
площадь при всех е в том смысле, что
J Rd9 = J Rdd
с мес
для любой замкнутой кривой С. Тогда для любого рационального
числа ^ лежащего между ^ и существует 2q неподвижных точек
отображения М(r), удовлетворяющих условиям
(Rq=R,
\ вд = в + 2-кр, при условии, что е достаточно мало.
Эта теорема на самом деле есть очень простой вариант знаменитой и гораздо
