КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
крайней мере вблизи неподвижной точки.
Рюссман [28] доказал сходимость преобразования к нормальной форме в
особом случае, когда преобразованный гамильтониан зависит
П
только от одной переменной р = 'фф + vl)-
V = 1
[А. Д. Брюно [5*] подробно изучил сходимость и расходимость рядов,
задающих преобразование, приводящее аналитическую систему
дифференциальных уравнений к нормальной форме в окрестности положения
равновесия, а также структуру самой нормальной формы. Гамильтоновы
системы рассмотрены в этой статье в § 12 (см. также [6*]). Там же можно
найти много исторических и литературных ссылок. В конце статьи автор
специально останавливается на проблеме устойчивости положения равновесия
для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, в частности указывая
на пробел в доказательстве теоремы 7. Применительно к задачам небесной
механики затрагиваемые в этой лекции вопросы рассматриваются также в
[1*]. Добавлено редактором перевода.]
1 Конец этого пункта при переводе опущен в связи с некоторой неточностью,
в нем присутствующей, тем более что в уточненном виде Мозер повторяет ту
же мысль во 2-й части книги Ю. Мозер "Лекции о гамильтоновых системах",
М.: Мир, 1973, стр. 118. - Прим. ред.
168
Лекции о гамильтоновых системах
Приложение
а. В этом приложении будут детально рассмотрены утверждения, высказанные
в конце пункта д. Мы начнем с того замечания, что даже если А9 = 1, то
все еще можно ввести координаты (по-прежнему обозначаемые нами через
х,у), в которых отображение М принимает нормальную форму. Мы
подразумеваем под этим, что в них оно имеет вид х + гу = z -"¦ x(zt z),
где степенной ряд у содержит только члены zvztl, удовлетворяющие условию
v - р - 1 = kq, k - целое.
Существование этой нормальной формы является аналогом результата
Густавсона для случая отображения.
б. Имеется интересная характеристика отображений, приведенных к
нормальной форме. Именно, справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Отображение М имеет нормальную форму тогда и только тогда, когда
оно коммутирует с поворотом Л (определенным в пункте д лекции 2), т. е.
М о Л = Л о М.1 (1)
Доказательство.
Если отображение М выразить через функцию y(z,z), то уравнение (1)
превратится в
у(Аz, Az) = Ax(z, z). (2)
Для общего члена z^z11 ряда х уравнение (2) сводится к
A v~flz'/zfl = \zvz".
Таким образом, если А9 = 1, то (2) удовлетворяется в точности тогда,
когда
v - р, - 1 = kq, к - целое, а если А не является корнем из единицы, то в
точности тогда, когда
v - р - 1 = 0.
В обоих случаях для выполнения уравнения (2) необходимо и достаточно,
чтобы М имело нормальную форму, что и доказывает лемму 1.
хЭто аналог уравнения DT = 0 из лекции 1.
Лекция 2
169
Из этой леммы непосредственно следует, что отображения М, которые
коммутируют с поворотом, а следовательно имеют нормальную форму, образуют
группу <5.
в. Поскольку отображения в нормальной форме образуют группу, то ясно, что
вместе с М и любая его итерация, в частности Mq, имеет нормальную форму.
Отсюда мы можем вывести, что гамильтониан Н, порождающий Мч при сдвиге
вдоль траекторий на время t = q, также имеет некоторую нормальную форму;
именно, H(z, z) содержит только члены вида где
v - р, = kq, к - целое.
Это утверждение имеет важное следствие: гамильтониан Н является
интегралом преобразования поворота Л, т.е.
H(Xz, Xz) = H(z, z).
Это тривиальным образом вытекает из того факта, что H(z, z) содержит
только члены вида zvzд, где v - р = kq, к - целое. Мы отметим, не
доказывая этого, что поток Мь, порождаемый Н, также имеет нормальную
форму.
г. Наши основные результаты в значительной мере являются следствием
следующей теоремы.
Теорема S. Если отображение М имеет нормальную форму, то М = Л о М1 = М1
о Л (здесь Л есть поворот на угол а, а М* определяется как поток,
порождаемый гамильтонианом Н).
Теорема S доказывается с помощью леммы, относящейся к задаче нахождения
корня q-й степени из отображения, линейная часть которого известна. Мы
сформулируем наш результат следующим образом.
Лемма 2. Уравнение Mq = N, если А известно и N € (3, т. е. имеет
нормальную форму, определяет Me(c) однозначно.
Доказательство леммы будет дано ниже.
Теорема S вытекает отсюда немедленно. В самом деле, из леммы 1 следует,
что
(ЛоМ1)9 = (М1 оЛ)" = Mq.
А поскольку q-e итерации, как и линейные части, отображений Л о М1 и М
совпадают, то по лемме 2
М = ЛоМ1 = М1 о Л.
170
Лекции о гамильтоновых системах
Теперь мы почти готовы доказать, что Н является интегралом для М или что
все величины Н(Р), Н(МР), , H(Mq~1P) совпадают.
Для этого достаточно заметить просто, что, как было упомянуто выше, Н
является интегралом для Л, т. е.
Таким образом, поскольку М = М1 о Л, а Н - интеграл и для Л и для М1, Н
является интегралом и для самого М.
Доказательство леммы 2.
Рассмотрим отображение М, определяемое рядом
и пронаблюдаем, что произойдет с членом fk при итерациях этого
отображения. Итак,
Zq - z + ... + Х1 1fk(z,z) + А9 2fk (Xz, Xz) +... + fk (A9 1z, A z) +
