КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Если это условие удовлетворяется, то определение (6.3) вновь однозначно
для всех в = а ¦ х -\- j ¦ а - jn+i• Они образуют плотное множество, если
мы будем предполагать, что не все ад, ... , ап рациональны.
Для построения и € Ж (а), удовлетворяющей (6.5), введем максимальную
решетку
Г = {7 е Z", а • 7 е Z}
и
Г = {/у ? Z(tm)+1, а ¦ 7 - 7п+1 = 0}.
Пусть г = dim^r < п, и 7О), ... , 7(0 является базизом Г
и 70),^(2), ... , 7W - соответствующий базис Г. Можно предположить, что
det (7^ )v,p^r Ф 0.
§6. Действие фундаментальной группы 371
Теперь аппроксимируем а рациональными а^в\ удовлетворяющими
а(8) . ^ - уп+1 = о для всех 7 € Г. (6.6)
-(") -
Другими словами, соответствующие решетки Г должны содержать Г.
Для этого выберем , ап'1 - рациональные числа, стремящиеся
к ar+i, ... , ап при s -у сю. Тогда уравнения
П
^2ais)7ip)-7nh=^ Для Р = 1,2,..., г
1/=1
(я) (я) (в)
однозначно определяют рациональные числа а\ , , • • • , af , т.
к. мат-
рица v, р = 1, 2, ... , г не вырождена.
Очевидно, что эти а^
удовлетворяют (6.6). Кроме того, а^ -"¦ а при s ->¦ сю.
Для этих построим минимальные решения € ^7per(a^s)),
-(") - чья решетка периодов Г содержит Г по теореме 5.4, т.е.
U{s){x + j) - jn+1 = и(я)(ж) для всех j € Г.
Можно предположить, что 0 ^ и^8\0) < 1, и получаем, что
подпоследовательность исходится к к элементу и 6 Ж {а), удовлетворяющему
(6.5), т.к. эти соотношения выполняются для всех аппроксимаций.
С учетом этого замечания можно определить U(x, в) с помощью (6.3) для а,
у которых не все компоненты рациональны. В этом случае U±(x, в)
определяются аналогичным образом и обладают свойствами из леммы 6.2.
Если а - рациональный вектор, то аналогичным образом определим U±(x, в).
Только необходимо отметить, что множество {а • j - - jn+1} не является
плотным. Таким образом, если и € Д(рег(а), тогда (6.3) определяет U(x, в)
для в = а • х + а ¦ j - jn+i- Теперь определим U+(x, в) как самую большую
монотонную функцию от в 6 М, которая продолжает U(x, в). Подобным образом
U~(x, в) обозначает наименьшую монотонную функцию, продолжающую U(x, в).
Поэтому U±(x, в) определены для всех а 6 М".
Теорема 6.3. Для всех а € К" существует функция U(x, в), строго
монотонная по в и удовлетворяющая
U(x + eв) = U(x, в), U(x, в + 1) = U(x, в) + 1,
372 Минимальные решения вариационных задач на торе
такая, что для всех /3 6 Ж
U(x, а ¦ х + (3)
принадлежит к Ж (а).
Это очевидное следствие (6.3) при U = U+ или U~. Действительно, если а не
рационально и /3' = а ¦ j - jn+i, то
U(x, а ¦ х + /3') = и(х + j) - jn+i 6 Ж (а),
и если /3' - возрастающая последовательность, стремящаяся к /3, то
соответствующая последовательность U(x, а ¦ х + /3') возрастает к U+(x, а
• х + /3). По теореме 4.3 сходимость равномерная на компактных
множествах. Из компактности Жа)^ следует, что U+(x, а ¦ х + /3) также
принадлежит Ж а, и по лемме 3.4 она принадлежит Ж {а). Такое же
доказательство подходит и для U~(x, а • х + /3).
В том случае, когда а рационально, U+(x, в) является ступенчатой функцией
и U+(x, а ¦ х + /3) совпадает с
U+(x, а ¦ х + а ¦ j - j"+1) = u(x+j) - jn+i
для некоторого j 6 Zn+1. Таким образом, в этом случае утверждение
тривиально.
Решения U±(x, а ¦ х + /3) теоремы 6.3 не обязаны содержать порождающую их
функцию и 6 Ж (а), если вектор а не рациональный. Они обладают
дополнительным свойством. Воспользуемся терминологией динамических систем
(п = 1):
Определение 6.4. Минималь и 6 Ж (а) называется рекуррентной, если и
является пределом последовательности переносов
-"• оо, j(s) е ъп+1.
Tj(s)U
Г
Теорема 6.5. Решения U±(x, а ¦ х + /3) рекуррентны.
Доказательство.
Это очевидное следствие того, что U+(x, а-х + /3) является, например,
пределом
U(x, а • х + а ¦ j - jn+1) = и(х + j) - jn+1
для возрастающей последовательности /3' = а ¦ j - jn+1, где
\j\ + \jn+11 ->¦ оо. Кроме того, предельное множество любого предельного
множества, такого как S, совпадает с самим множеством.
§6. Действие фундаментальной группы
373
Необходимо различать два разных случая:
A) Минимальное решение xn+i = и{х) является плотным на Т"+1.
B) xn+i = и(х) не является плотным на Т"+1.
Встречаются оба случая и даже для п = 1 можно привести примеры,
иллюстрирующие обе ситуации. Первый случай встречается, например, для
подынтегральной функции F = F(p), не зависящей от х и и, когда а не
является рациональным1.
Случай А) характеризуется следующей теоремой.
Теорема 6.6. Для данной и € Ж {а) следующие утверждения эквивалентны:
г) (ж, хп+\) = (ж, и(х)) является плотным на Т"+1.
И) Множество {u{j) - jn+1> С?\ jn+i) € Zn+1} является плотным на М.
iii) U+(x, в) = U~(x, в), т. е. обе функции являются непрерывными на
М"+1.
tv) xn+i = U±(x, а-х+Р), /3 € К определяет слоение минимальных решений,
которые посредством гомеоморфизма
(ж, в) -"¦ (ж, U(ж, в)), переходят в слоение в = а ¦ х + (3.
Доказательство.
Утверждение г) равносильно плотности и(х + j) - jn+i Для фиксированного ж
и переменных j, jn+i, что по теореме 4.3 эквивалентно гг).
