Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
о В частности, гипотеза равнопредставленности не может рассматриваться
как принцип. Это не более чем "рабочая гипотеза".
§ 2.10. Теория термоупругости
125
двум условиям: (1) удовлетворять неравенству Клаузиуса - Дю-гема (2.8.22)
и (2) согласовываться с принципом объективности, сформулированным в §
2.5. Сначала рассмотрим следствия условия (1). Но прежде докажем
следующую лемму.
Лемма. Имеется по крайней мере один допустимый термоупругий процесс, в
котором поля F, F, 0, 0, G и G для любой данной материальной точки X в
любой момент времени le.(to,tM) принимают произвольно заданные значения,
соответственно F, А, 0, a, G и a (F, 0, G определяются в области D).
Лемма доказывается следующим образом. Достаточно рассмотреть поля
(2.10.2) следующего частного вида:
Действительно, из этих уравнений и определений F и G имеем
что и требовалось доказать. "
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Для выполнения неравенства Клаузиуса - Дю-гема в термоупругих
материалах необходимо и достаточно, чтобы определяющие уравнения (2.10.1)
удовлетворяли следующим трем условиям.
(1) Функции ф, t и г) не зависят от G:
$в (X, /) = [F + (^ - t) А] • (X - X),
0 (X, t) = 0 + a (t -1) + [G + (t - t) a] • (X - X).
(2.10.3)
F(X,0 = F + H')Ah G (X, 0 = G+(/-?)a;
следовательно.
F(X, t) = F, 0(X, *) = 0, G(X, ?) = G, F(X, f) = A, 0(X, ?) = <*, G(X, ?)
= a,
ф = ф(Р, 0), t = t(F, 0), T) = f,(F, 0); (2.10.4)
(2) функции t, г) и ф связаны уравнениями
(3) функция q удовлетворяет неравенству теплопровод-
ности
q(F, 0, G)-g<0.
(2.10.6)
126 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Теорема доказывается следующим образом. Из уравнения
(2.10.1) имеем
* = Ч(!§№#° + |М- <2.10.7)
Подставив это выражение в неравенство (2.8.22), получим
,r{[(F-.n-P(#)>}-p(, + #)e-
-pJ4"6-0-'q.g>O. (2.10.8)
Здесь принята во внимание зависимость t, f| и q от всех возможных
параметров. Условия (2.10.4) - (2.10.6), очевидно, являются достаточными.
Необходимость этих условий можно установить таким образом. Запишем
неравенство (2.10.8) для процесса частного вида (2.10.3), где Х; = бгк^к
и t=t. Оно принимает-вид
*r {[(F-Т ' - р (#Л А} - 8 (i + #) а -
-pll-a-e-'q-g^O; (2.10.9)
теперь необходимость условий (2.10.4) - (2.10.6) очевидна в силу
произвольности X, t, А, а и а, что и требовалось доказать.
Подставив выражения (2.10.4) и (2.10.5) в уравнение (2.10.7), найдем p'ty
= tr(tD7')- р^О- Взяв производную по времени от ф = е - т]0, имеем ^> = ё
- т)0 -- 0т). Объединяя эти результаты, получим
рё = tr (tDr) + р0г). (2.10.10)
Наконец, подставив полученные результаты в уравнение
(2.8.10), приходим к уравнению
р0г) = рЛ - V • q. (2.10.11)
Сравнив это соотношение с уравнением (2.8.19), находим 6i = 0: в
термоупругих средах внутренняя диссипация отсутствует. Кроме того, из
уравнения (2.10.11) следует, что допустимый термодинамический процесс
является адиабатическим, т. е. рh - Vq = 0 тогда и только тогда, когда он
изэнтропи-ческий (г) = 0).
Теперь мы должны найти условия, когда определяющие уравнения (2.10.4) и
определяющие уравнения для q тождественно удовлетворяют принципу
объективности. Так как t
§ 2.10. Теория термоупругости
127
определяется функцией ф, то достаточно исследовать ограничения,
накладываемые этим принципом на функцииф и g. Что касается первой
функции, то мы уже показали, что F - объективная полевая причина. Пусть
Q(/)-произвольное зависящее от времени (собственное или несобственное)
ортогональное преобразование Е3 в текущей конфигурации Ж*. Тогда функция
ф объективная тогда и только тогда (ср. с уравнением (2.3.29)), когда ф
(QF, 0)=ф (F, вдля любого Q и для любой пары (F, 0), определенной в
области D. В силу произвольности Q мы можем положить его совпадающим с
Rr; согласно соотношениям (2.2.30) и (2.2.31), имеем U = RrF, поэтому ф =
ф(U,0). Но U = С1/2 и Е = (С - М/2, следовательно, эту функцию можно
также записать в виде
ф = ф(С, 0) = ф(Е, 0). (2.10.12)
Легко видеть, что функция ф объективная тогда и только тогда, когда она
имеет частную форму (2.10.12). Из определения Е и соотношений (2.10.5)
следует
. 0Ф (Е, 9) 4i - 9 дЕ
'кь
X(t, кхр, L = t{j- (2.10.13)
0 = const
Условие F = const эквивалентно условию Е = const, поэтому второе из
уравнений (2.10.5) принимает вид
дф (Е, 9)
о- ае
(2.10.14)
Е=const
Нетрудно убедиться прямым вычислением, что тензор t
(2.10.13) объективный.
Аналогичным образом можно выяснить условия объективности вектора потока
тепла q, определяемого соотношением q = q(F, 0, G); вектор q объективен
тогда и только тогда, когда q (QF, 0, G) = Qq (F, 0, G). Положив Q = Rr,
получим
q = Rq (U, 0, G) = Fq (E, 0, G). (2.10.15)
Здесь q и q - векторные поля в конфигурации ЖR. Заметим, что G и g
связаны соотношением G = Frg.
Теперь мы можем утверждать, что определяющие уравнения (2.10.1) для
термоупругих материалов удовлетворяют неравенству Клаузиуса - Дюгема и
принципу объективности тогда и только тогда, когда они имеют частную
