Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
интерес для нас представляет рассмотрение распространения волн в
некоторых специальных направлениях кубической структуры. Для анализа
будем использовать систему обозначений Миллера, схематично изображенную
на рис. 2.13.1 и 2.13.2. Обозначения (...) относятся к
кристаллографическим плоскостям, а обозначения [...] - к
кристаллографическим
142
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
направлениям Для примера рассмотрим распространение волн вдоль
направлений [100] и [110] (рис. 2.13.2).
(а) Во-первых, рассмотрим продольные волны в направлении [100]. Тогда
их - и0х exp [i(kx - со/)]. Из уравнения
Рис. 2.13.1. Система обозначений Миллера. Здесь а, Ь, с - векторы,
определяющие единичную ячейку кристалла. Любая кристаллическая плоскость,
отсекающая на осях отрезки, пропорциональные a/h, b/k, с//, обозначается
индексами Миллера (hkl), где h, k, I - целые числа. Изображенная здесь
плоскость Р обозначается (211). Направление нормали N к плоскости Р можно
охарактеризовать через ее направляющие косинусы: (a/h) cos (Na) = (b/k)
cos (Nb) = = (c/0 cos (Nc).
x
Рис. 2.13.2. Некоторые главные направления в кубической решетке.
(2.11.20) в проекции на ось х получим D{a,k)= р0со2 - cnk2=0. Из этого
соотношения следует, что скорость распространения волны имеет величину
С'=Т =(-?-)'"¦ (2ЛЗ'1)
Теперь рассмотрим поперечные волны, для которых иу = = Uoy exp [i{kx -
"/)]; вектор к направлен вдоль оси х. Урав-
1) Система обозначений Миллера разъясняется в книге [Kittel, 1971, гл. 1]
и во всех книгах, посвященных основам кристаллографии.
§ 2.13. Распространение волн в бесконечном кубическом кристалле 143
нение (2.11.20) в проекции на ось у приводит к соотношению D (со, k) =
ро(c)2 - Сщк2 - 0, следовательно, скорость распространения равна
^=т=(т?)ш <2лз-2>
(Ь) Рассмотрим распространение волны в направлении
[110]. Этот случай представляет особый интерес, так как измерения
скоростей распространения волн в этих трех направлениях позволяют
получить значения трех постоянных упругости материала с кубической
структурой. Для поперечной волны имеем цг = н0гехр[г'(к-г -(c)0], т№ k =
{kx, ky, 0) и k2 = k2x + -f k2y. Уравнение (2.11.20) в проекции на ось 2
дает для скорости распространения волны значение (2.13.2). Остальные
возможные типы волн представляют собой упругие колебания в плоскости х,
у, так что будем считать
их = Щх ехр [г (к • г - (c)0], иу = и0у ехр [г (к • г - (c)/)],
где к = {kx, ky, 0). Уравнение (2.11.20) в проекции на оси х и у с учетом
kx = ky = kj-\j'2 приводит к следующему условию совместности или
дисперсионному уравнению:
Ро(r)2 ~Ь '/г (Сц + С44) k2 V2 (с 12 + с44) k2
'/2 (С12 + С44) ~ Ро(r)2 + '/г (Сц + С44) k2
(2.13.3)
Корни этого уравнения дают две скорости с\ и с2:
Ci = [^-(cu + с12+2с44)]'/2, с2 = [-^(сп~ cl2}]U2 ¦ (2.13.4)
Первая скорость является скоростью распространения продольной волны, а
вторая - поперечной. Подставляя решение, соответствующее первому значению
скорости, в уравнение
(2.11.20), записанное в проекции на оси х и у, легко показать, что их =
иу, так что соответствующее этому решению перемещение параллельно
направлению [110], т. е. направлению распространения волны. Выполняя
аналогичные преобразования с решением, соответствующим значению с2,
получаем, что их = = -иу, так что перемещение в этом решении параллельно
направлению [ПО] (рис. 2.13.3) и, следовательно, перпендикулярно
направлению распространения. Заметим, что соотношение сп - Ci2 = 0, а
следовательно, и значение с2 = 0 соответствует возникновению структурной
неустойчивости, отмеченной выше в § 2.11.
Детальное рассмотрение распространения плоских гармонических волн вдоль
направления [111] оставляем читателю в
/)((c), k)ss
=0.
144
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
качестве упражнения. Исследование распространения гармонических плоских
волн в анизотропной линейно упругой среде в
произвольном направлении показывает, что в общем случае уже нельзя
говорить о продольности или поперечное(tm) волн. Для рассмотрения этого
общего случая нужно прибегнуть к помощи диаграммы, известной как
диаграмма замедления. Дальнейшее изложение см. в работах [Auld, 1973,
Mus-grave, 1970; Федоров, 1968].
§ 2.14. Понятие о поверхностных акустических волнах
А. Общее представление
Поверхностные волны - это, вообще говоря, переменные во времени и
неоднородные в пространстве возмущения, почти полностью . сосредоточенные
в довольно узком слое около поверхности тела и практически отсутствующие
вне его. Задача о поверхностных волнах - это простейшая задача динамики
тела с конечной протяженностью в одном из его измерений. Для ее решения
необходимо рассмотреть граничные условия; существование в той или иной
степени явлений поверхностных волн можно продемонстрировать, по крайней
мере в принципе, на примере любой полевой теории, т. е. на основе
соответствующей системы полевых уравнений для сплошной среды совместно с
корректно поставлен-
Рис. 2.13.3. Главные плоскости в кубической решетке. (См. Kovacs I.,
