Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
становится комплексной выше точки "взаимодействия"). Все это приводит к
дисперсионному уравнению с графиком типа, изображенного на рис. 7.11.4.
Для малых qx, меньших критической величины q\, компонента рх на
расстоянии от поверхности, большем 2%, практически ведет себя почти как
граненая (face) волна (вырожденная поверхностная волна, амплитуда которой
с глубиной практически постоянна), а компоненты иг и ф ведут себя как в
классической моде Блёстейна - Гуляева с поразительно большой глубиной
проникания (около 2500 Я).
Кроме того, зависимость для электрического потенциала имеет характерный
погранслойный вид с максимумом на глубине порядка одной длины волны из-за
больших градиентов поляризации около поверхности х2 = 0. При q{ > qJ
зависимости для компонент р2 и рх имеют осциллирующий характер; при этом
среднее от компоненты р2 на нескольких длинах волн практически равно
нулю, а среднее от компоненты рх равно некоторой постоянной (как это
типично для граненых волн). Величины иг и ф глубоко проникают в подложку,
причем зависимость для ф имеет погранслойный вид с максимумом в точке
около 0.2 Я (рис. 7.11.4). Явные аналитические выражения можно найти в
работе [Pouget, Maugin, 1981а].
С. Волны Рэлея
С учетом разложения Гельмгольца поля вектора перемещения
й = (и" "2, 0) = VO-fVXU = ((r),i + f/,2, Ф.а - С/.ь 0) (7.11.43)
система уравнений (7.11.13) - (7.11.15) для неизвестных
(7.11.26) 1 в области х2 > 0 принимает вид
0рФ = (С] + С2) У2Ф + оР оРСфз,
0рё/ = C2V2U, __ _ (7.11.44)
dEp3 = ~ орС6Г2Ф - op (2С4 + оР%) Рг + (С" + op2C.6)V2p3; при х2,
стремящемся к бесконечности, все полевые величины обращаются в нуль;
граничные условия (7.11.17), (7.11.18) на поверхности х2 = 0 записываются
в виде
0 = (Cj - С2) Ф) п + (Ci + С2) Ф( 22 - 2C2Ut 12 + оР оРСфз,
0 = 2Ф, ,2+ ?/>2а(7.11.45) о = Рз, 2.
§ 7.11. Взаимосвязанные поверхностные волны в сегнетоэлектрич. 517
Здесь Сх, С2 - коэффициенты упругости, С6 - пьезоэлектрический
коэффициент, и С7 связаны с электрической восприимчивостью, а Си и Сх7 -
коэффициенты, появившиеся при учете
Рис. 7.11.5. Пьезоэлектрические волны Рэлея в сегнетоэлектриках. (а)
Допустимая область дисперсии: (Ь) качественный график дисперсионного
уравг нения.
градиентов поляризации. Из уравнений (7.11.44) можно получить следующее
условие, которому должно удовлетворять решение вида (7.11.31) для любых
ненулевых й\
(e(Q - Г) [(e,Q - Г)(Г, + e?Q - Г) - г3Щ = 0, (7.11.46)
518 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
(с)
Рис. 7.11.6. Пьезоэлектрические волны Рэлея в ВаТЮ3 (oP_LPs). (а) График
дисперсионного уравнения; (Ь) зависимость амплитуды от глубины для
волновых чисел ниже точки электроакустического резонанса; (с) зависимость
амплитуды от глубины для волновых чисел выше точки электроакустического'
резонанса [Pouget, Maugin, 1981b].
где
Q = Ч\ + Я% - c^i/(r)o> Яг - ck2/<a0,
: 0p (1 + 2C4 + о P2C?)/dE, Q = ф0, (7.11.47)
Г = 02, ri=0p(2C4+0P2C7)/d?co02-Q?, SI - (C1 + C2)/0pc2, e( = C2/0pc2, et
= (Сы + qP Cl7)/dEc , e3 - QP /0pc , ? = cI(1+2C4 + oP2C7)~1;
(7.11.48)
§ 7.12. Представление о солитонных волнах в сегнетоэлектр. кристаллах 519
здесь с - скорость света в вакууме. Допустимая область дисперсии
определяется из условия отрицательности мнимых частей всех возможных
значений q2\ на рис. 7.11.5(a) соответствующая область находится ниже
заштрихованной области; здесь линия 1 соответствует поперечной
акустической моде без взаимодействия, а кривая 3 - отщепившейся мягкой
сегнетоэлектр ической моде. Точка пересечения с абсциссой q\ указывает на
объемный электроакустический резонанс между продольной упругой модой и
сегнетоэлектрической модой (см. рис. 7.10.2 для "ортогональной"
ориентации). Действуя стандартными методами исследования поверхностных
мод (см. аналитическое исследование в работе [Pouget, Maugin, 1981b]),
приходим в итоге к дисперсионному уравнению, график которого качественно
изображен на рис. 7.11.5(b), кривая 4.
Найденная таким образом пьезоэлектрическая мода Рэлея проявляет сильную
дисперсию, когда qx снизу подходит к Кривизна мягкой сегнетоэлектрической
ветви (параметр 82 = ё?), очевидно, мала, так что дисперсионная ветвь
почти линейна при q1 >• q°v На рис. 7.11.6 представлены численные
результаты для ВаТЮ3 - график дисперсионного уравнения и зависимость
амплитуды соответствующих волн от безразмерной глубины.
Подводя итог, скажем, что свойства поверхностных волн, рассмотренных в
этом параграфе, легко контролировать при помощи начального электрического
поля 0Е (изменением его ориентации и интенсивности). Поэтому эти моды
представляют особый интерес с точки зрения акустоэлектроники.
§ 7.12. Представление о солитонных волнах в сегнетоэлектрических
кристаллах
А. Простая модель электроупругости
Для возникновения солитонных волн, уже рассмотренных в § 6.13 на примере
упругих ферромагнетиков, необходима точная компенсация между расширением
сигнала из-за дисперсии и его сужением благодаря нелинейностям. Общие
